Dos cámaras inicialmente aisladas

Enunciado

Dos cámaras A y B con el mismo volumen de aire están separadas por un émbolo que puede moverse libremente. Las paredes y el émbolo están aislados térmicamente. Inicialmente las dos cámaras están en equilibrio. Se retira el aislante del émbolo. Una vez que se vuelve a alcanzar el equilibrio, el volumen de A es el doble que el de B.

1. Antes de que se retirara el aislante, ¿qué proporción había entre las temperaturas de A y B?
2. Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio, ¿qué proporción hay entre las densidades de masa del aire de ambas cámaras?

Proporción entre temperaturas

En el estado inicial las dos cámaras están a la misma presión $p_{i}$, pues el émbolo puede moverse. Los dos gases ocupan el mismo volumen $V_{T}/2$, la mitad del total, pero sus temperaturas son diferentes.

Tras retirar el aislante térmico, los gases están ambos la misma presión $p_{f}$ (pero no tiene por qué ser la misma que la inicial), las temperaturas son iguales, $T_{f}$, pues hay equilibrio térmico y los volúmenes son diferentes ($2V_{T}/3$ y $V_{T}/3$).

Relacionando el estado inicial y final del gas de la izquierda tenemos

$T_{Li}=T_{Lf}{\frac {V_{Li}}{V_{Lf}}}\,{\frac {p_{Li}}{p_{Lf}}}=T_{f}{\frac {V_{T}/2}{2V_{T}/3}}\,{\frac {p_{i}}{p_{f}}}={\frac {3}{4}}\,{\frac {p_{i}}{p_{f}}}T_{f}$

y para el gas de la derecha

$T_{Ri}=T_{Rf}{\frac {V_{Ri}}{V_{Rf}}}\,{\frac {p_{Ri}}{p_{Rf}}}=T_{f}{\frac {V_{T}/2}{V_{T}/3}}\,{\frac {p_{i}}{p_{f}}}={\frac {3}{2}}\,{\frac {p_{i}}{p_{f}}}T_{f}$

El cociente entre estas dos cantidades nos da

${\frac {T_{Ri}}{T_{Rf}}}={\frac {(3/2)(p_{i}/p_{f})T_{f}}{(3/4)(p_{i}/p_{f})T_{f}}}=2$

Vemos que inicialmente el gas a la derewcha está al doble de la temperatura del de la izquierda. Al alcanzarse el equilibrio térmico este gas se ha enfriado (y reducido su volumen) mientras el de la izquierda se ha calentado (y aumentado su volumen).

Proporción entre densidades

La densidad de un gas ideal se puede calcular por la ley de los gases ideales en su versión

$\rho ={\frac {p}{R_{m}T}}$

Dado que en el estado final ambos gases están a la misma presión y a la misma temperatura, concluimos que ambos gases tienen la misma densidad.

En el estado inicial, en cambio, el gas de la izquierda estaba a la mitad de temperatura que el de la derecha, pero a la misma presión, por lo que densidad era el doble.