Problemas de corriente eléctrica (GIOI)

Cable bimetálico

Entre los distintos tipos de cable empleados en la industria, se encuentra el de acero revestido de cobre. Está formado por un núcleo de acero de radio $a$ (suponga $a=2\,\mathrm {mm}$), rodeado por una capa de cobre, de radio exterior $b$ (sea $b=3\,\mathrm {mm}$).

1. Calcule la resistencia de un cable de esta clase de longitud $h=10\,\mathrm {km}$.
2. Determine la intensidad de corriente que circula por cada metal cuando se aplica una diferencia de potencial $V_{0}=100\,\mathrm {V}$ al cable anterior.

Datos: $\sigma _{\mathrm {Cu} }=5.96\times 10^{7}\,\mathrm {S} /\mathrm {m}$, $\sigma _{\mathrm {acero} }=7.0\times 10^{6}\,\mathrm {S} /\mathrm {m}$

Solución

Paso de un pulso de corriente

Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica $R_{1}$ circula una corriente variable en el tiempo, tal que su valor es

$I_{1}(t)={\begin{cases}I_{0}t(T-t)/T^{2}&0<t<T\\0&t<0\ \mathrm {o} \ t>T\end{cases}}$

1. Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre $t\to -\infty$ y $t\to \infty$.
2. Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

Solución

Asociación de dos bombillas en serie

Se colocan en serie dos bombillas de potencias nominales 10 W y 6 W y se conectan a la red. Si la potencia radiada es proporcional a la potencia consumida, ¿cuál de las dos bombillas darán más luz? ¿En qué proporción?

Solución

Conexión de tres bombillas

Supongamos que tenemos tres bombillas iguales (simbolizadas por ⊗) de potencia nominal 10W a 220V que se conectan según el esquema siguiente. La fuente es una de continua a 220V.

• ¿Cuánta potencia consume cada bombilla? ¿Cuál da más luz? ¿Qué potencia se consume en el circuito completo?

• Si ahora se abre el interruptor A, ¿cómo cambia la potencia consumida por cada bombilla? ¿Y la potencia total consumida?

Solución

Triángulo de resistencias

Determine la resistencia equivalente entre los puntos A y B del circuito de tres resistencias de la figura.

Solución

Condensador con pérdidas

En un modelo de condensador real (“con pérdidas”) se tienen dos placas paralelas perfectamente conductoras de sección $S$, separadas una distancia $a$ entre las cuales hay un dieléctrico de permitividad $\varepsilon$ y con una pequeña conductividad $\sigma$. Entre las placas se establece una d.d.p. constante por medio de una fuente de f.e.m ${\mathcal {E}}$.

1. Calcule el campo eléctrico y la densidad de corriente entre las placas.
2. Halle la energía almacenada en el sistema y la potencia consumida en el dispositivo.
3. Diseñe el circuito equivalente a este dispositivo.
4. Si la fuente que alimenta a este elemento es una fuente real con f.e.m. ${\mathcal {E}}$ y resistencia interna $r$, ¿cuánto valen en ese caso la carga, la corriente, la energía y la potencia?
5. Si la d.d.p. que se aplica entre las placas no es continua, sino que varía como $V(t)$, ¿qué corriente llega por el cable al dispositivo?
6. ¿Qué ocurre si se desconecta la fuente?

Solución

Condensador con dos capas no ideales

Entre dos placas perfectamente conductoras de sección $S$ separadas una distancia $a+b$ se encuentran dos capas de dieléctricos no ideales de espesores $a$ y $b$ respectivamente. Los dieléctricos tienen permitividades $\varepsilon _{1}$ y $\varepsilon _{2}$ y conductividades $\sigma _{1}$ y $\sigma _{2}$, respectivamente. Entre las placas se aplica una diferencia de potencial constante mediante de una fuente de f.e.m. ${\mathcal {E}}$.

1. Diseñe el circuito equivalente a este sistema.
2. Calcule la corriente que atraviesa el dispositivo.
3. Halle la carga en cada una de las placas y en la interfaz central entre los dos dieléctricos.
4. Calcule la potencia disipada y la energía almacenada en el sistema.

Solución

Sistema de 5 resistencias

Se tiene el sistema de 5 resistencias de la figura. Entre los extremos de la asociación se aplica una diferencia de potencial de 7.2 V.

1. Determine las lecturas del amperímetro y voltímetro de la rama central en los casos:
   1. $R_{5}=1\,\mathrm {M} \Omega$
   2. $R_{5}=1\,\mathrm {m} \Omega$
   3. $R_{5}=25\,\Omega$
2. Para cada caso, ¿cuánto vale la potencia disipada por efecto Joule en cada resistencia. ¿En cuál de ellas se disipa más energía?

Solución

Cinco resistencias iguales

Dado el sistema de resistencias de la figura, calcule la intensidad de corriente que entra por el extremo A en los siguientes casos:

1. En A se conecta una fuente de 24mV, C se deja abierto y B se conecta a tierra.
2. En A se conecta una fuente de 24mV, B se deja abierto y C se conecta a tierra.
3. En A se conecta una fuente de 24mV, B y C se conectan a tierra.
4. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de 6mV y B se conecta a tierra.
5. En A se conecta una fuente de 24mV, en B una de −24mV y C se conecta a tierra.
6. En A se conecta una fuente de 24mV, en C una de −24mV y B se conecta a tierra.

Solución

Esfera que se conecta a una fuente de tensión

Un conductor metálico esférico de radio 90 cm se encuentra cargado con una carga $Q_{1}=10\,\mathrm {nC}$. Alrededor de la esfera no hay más conductores ni cargas.

1. Halle el potencial al que se encuentra la esfera, así como la energía electrostática almacenada en el sistema.
2. Suponga que ahora se conecta a la esfera una fuente de tensión de 0.3 kV, mediante un cable con una resistencia de 100 Ω. Justo tras la conexión, ¿cuánto vale la corriente que circula por el cable? ¿Está aumentando o disminuyendo la carga de la esfera?
3. Una vez que se ha alcanzado de nuevo el equilibrio electrostático de la esfera, ¿cuál es su nueva carga? ¿Y la nueva energía almacenada en el sistema?
4. ¿Qué trabajo ha realizado la fuente de tensión en el proceso? ¿Cuánta energía se ha disipado en la resistencia?
5. Determine la ecuación diferencial que gobierna el potencial $V(t)$ de la esfera desde que se conecta la fuente hasta que se llega de nuevo al equilibrio electrostático. Indique como sería la representación gráfica de $V(t)$ frente al tiempo.

Dato: $1/(4\pi \varepsilon _{0})=9\times 10^{9}\,\mathrm {m} /\mathrm {F}$

Solución

Potencia de un generador real

El generador real de la figura posee una fuerza electromotriz de 10V y una resistencia interna de 1Ω. Cuando se conecta a una resistencia de 4Ω, ¿cuánta potencia eléctrica ${\dot {W}}_{\mathrm {out} }$ sale del generador real?

Solución

Sistema de cuatro hilos

Se tiene un sistema de cuatro hilos rectilíneos de sección circular, todos ellos de longitud $\ell _{0}=10\,\mathrm {cm}$ y hechos de un material de conductividad $\sigma =(4/\pi )\times 10^{4}\mathrm {S} /\mathrm {m}$. Los diámetros de los cables son respectivamente $d_{1}=4\,\mathrm {mm}$, $d_{2}=2\,\mathrm {mm}$, $d_{3}=2\,\mathrm {mm}$ y $d_{4}=1\,\mathrm {mm}$. Los cuatro hilos están unidos a un nodo común, mientras que sus otros extremos están conectados a fuentes de tensión de voltajes $V_{1}=1.26\,\mathrm {V}$, $V_{2}=210\,\mathrm {V}$ o a tierra, tal como indica la figura. Inicialmente el interruptor A está cerrado.

1. Calcule la resistencia eléctrica de cada hilo.
2. Determine el voltaje al que se encuentra el nodo central, así como la intensidad de corriente que entra por cada uno de los cables (una o varias de ellas serán negativas).
3. ¿Cuánto vale la densidad de corriente en cada cable? Si el primer cable en fundirse es por el que circule una mayor densidad de corriente, ¿cuál de los cuatro será?
4. Calcule la potencia que se disipa en el sistema por efecto Joule.

Suponga ahora que se abre el interruptor A.

5. ¿Cuáles son las nuevas intensidades de corriente y el voltaje en el nodo central?
6. ¿Cuánto vale la nueva potencia disipada? ¿Ha aumentado o disminuido respecto a la que se disipaba antes de abrir el interruptor?

Solución

Tres resistencias y un condensador

Se tiene el sistema de resistencias, condensadores y fuentes de voltaje de la figura.

1. ¿Cuánto vale la corriente que entra por cada nodo?
2. ¿Cuánta potencia se consume en el sistema de resistencias?
3. ¿Cuánta energía hay almacenada en el condensador?

Solución

Circuito en forma de H

Un circuito integrado está constituido por una pista de cobre ($\sigma \simeq 6.0\times 10^{7}\,\mathrm {S} /\mathrm {m} )$ de espesor e=0.1 mm montada sobre un dieléctrico. La pista tiene en todos sus tramos un ancho d = 1.0 mm. La pista tiene forma de H, en la que cada tramo mide b = 6.0 cm, salvo el travesaño central, que mide 3cm. Supongamos en primer lugar, que tres de las patas están a tierra (el interruptor A está cerrado) y la cuarta conectada a un voltaje $V_{0}=2.4\,\mathrm {mV}$.

1. Halle la intensidad de corriente que entra o sale por cada pata.
2. Halle el voltaje al que se encuentran los dos nodos intermedios, donde se unen los diferentes tramos.
3. Calcule la potencia que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

Supongamos ahora que, en la situación anterior, se abre el interruptor A, dejando la pata 2 en circuito abierto. Responda a las mismas preguntas:

4. Halle la intensidad de corriente que entra o sale por cada pata.
5. Halle el voltaje al que se encuentran los dos nodos intermedios.
6. Calcule la potencia que se está disipando en el sistema por efecto Joule.

Puede suponerse cada tramo como un conductor filiforme.

Solución

Circuito en forma de cuadrado

Se construye un cuadrado mediante un cable de material conductor de 5mm² de sección y 8m de largo, de constantán, una aleación que tiene una conductividad eléctrica $\sigma =2\times 10^{6}\mathrm {S} /\mathrm {m}$. Entre dos vértices contiguos se aplica una diferencia de potencial de 1.2 V.

Calcule

1. la intensidad de corriente en cada lado del cuadrado.
2. la potencia disipada en el sistema por efecto Joule.

Solución