Flujo del campo eléctrico de un cubo (GIOI)

Enunciado

Un cubo de arista b contiene una carga $Q_{0}$ distribuida uniformemente en su volumen. No hay más cargas en el sistema. Sea S una superficie esférica de radio b centrada en uno de los vértices del cubo. ¿Cuánto vale el flujo del campo eléctrico a través de S?

Solución

De acuerdo con la ley de Gauss

$\oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {Q_{\mathrm {int} }}{\varepsilon _{0}}}$

por lo que el flujo que nos piden se reduce a calcular la carga encerrada por la superficie esférica.

La esfera corta al cubo de tal forma que el volumen donde hay carga es 1/8 de la esfera. Tres caras del cubo están sobre los planos coordenados y delimitan un octante (de la misma manera que hay cuatro cuadrantes en el plano, hay ocho octantes en el espacio).

Por tanto la carga encerrada es

$Q_{\mathrm {int} }={\frac {1}{8}}\left({\frac {4\pi b^{3}}{3}}\rho _{0}\right)={\frac {\pi b^{3}}{6}}\rho _{0}$

La densidad de carga la sacamos de dividir la carga total del cubo por el volumen del cubo

$\rho _{0}={\frac {Q_{0}}{b^{3}}}$

lo que nos da el flujo del campo eléctrico

$\oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {\pi }{6}}{\frac {Q_{0}}{\varepsilon _{0}}}$