No Boletín - Varilla que desliza en aro giratorio

Enunciado

El sistema de la figura está constituido por un aro rígido (sólido “0”), de centro C y radio $R$, que rota libremente alrededor de su diámetro vertical fijo AB contenido en el eje $AZ_{1}$ del triedro $AX_{1}Y_{1}Z_{1}$ (sólido “1”); y por una varilla rígida PQ (sólido “2”), de centro G, cuyos extremos se hallan articulados a sendos deslizadores que los obligan a moverse sobre el aro. Describiendo la cinemática del sistema mediante las derivadas temporales de los ángulos $\varphi$ y $\theta$ definidos en la figura, determine:

1. ${\vec {\omega }}_{21}$, ${\vec {\alpha }}_{21}$ y eje instantáneo de rotación del movimiento {21}.
2. ${\vec {v}}_{21}^{P}$ y ${\vec {a}}_{21}^{P}$ en el instante en que el extremo P de la varilla pasa por el punto más alto del aro (punto B).

Nota: Para resolver el ejercicio, se recomienda el uso de la base vectorial asociada al triedro “0” de la figura, cuyo plano vertical $AX_{0}Z_{0}$ contiene al aro en todo instante.

Velocidad angular del movimiento {21}

De acuerdo con la fórmula de composición de velocidades angulares:

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}$

Hallamos cada una por separado.

Velocidad angular de arrastre {01}

Está asociada a la variación del ángulo $\varphi$. Corresponde a una rotación alrededor del eje $AZ_{1}\equiv AZ_{0}$ (eje permanente de rotación), por lo que:

${\vec {\omega }}_{01}={\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{1}={\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0}$

Velocidad angular relativa {20}

Está asociada a la variación del ángulo $\theta$. Aunque el segmento CG (siendo G el punto medio de la varilla) aparentemente no es parte del sólido “2”, es fácil ver que sí se mueve con él y forma parte integral de este sólido. La dirección y sentido de esta velocidad angular la da la regla de la mano derecha, viendo para qué lado gira la varilla cuando $\theta$ aumenta:

${\vec {\omega }}_{20}=-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}$

Velocidad angular absoluta {21}

La calculamos como suma de las dos anteriores:

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0}$

Aceleración angular del movimiento {21}

Para la aceleración angular, la ley de composición correspondiente es:

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}$

Las aceleraciones angulares relativa y de arrastre pueden hallarse a partir de sus definiciones, es decir, simplemente derivando respecto al tiempo las velocidades angulares correspondientes:

${\vec {\alpha }}_{01}=\left.{\frac {\mathrm {d} \,{\vec {\omega }}_{01}}{\mathrm {d} \,t}}\right|_{1}={\ddot {\varphi }}{\vec {k}}_{1}={\ddot {\varphi }}{\vec {k}}_{0}\,\,;$        ${\vec {\alpha }}_{20}=\left.{\frac {\mathrm {d} \,{\vec {\omega }}_{20}}{\mathrm {d} \,t}}\right|_{0}=-{\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}$

El término de acoplamiento entre las velocidades angulares vale:

${\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\omega }}_{20}=({\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0})\times (-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0})={\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0}$

Sumando los tres términos, obtenemos la aceleración angular absoluta:

${\vec {\alpha }}_{21}={\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0}-{\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}+{\ddot {\varphi }}{\vec {k}}_{0}$

Eje instantáneo de rotación del movimiento {21}

El teorema de Varignon afirma que la composición de dos (o más) rotaciones sobre ejes concurrentes (que pasan por un punto común) es otra rotación alrededor de un eje que pasa por el mismo punto. En este caso el movimiento de arrastre {01} es una rotación en torno a un eje que pasa por A y B, y el movimiento relativo {20} es otra rotación alrededor de un eje paralelo al $AY_{0}$ que pasa por C. Ambos ejes de rotación se cortan en C. Por tanto, la composición de ambos es una rotación instantánea en torno a un eje que pasa por C y tiene la dirección marcada por ${\vec {\omega }}_{21}$.

En forma vectorial y tomando el origen de coordenadas en el punto A, la ecuación del EIR{21} es:

${\overrightarrow {AI}}={\overrightarrow {AC}}+{\overrightarrow {CI}}=R{\vec {k}}_{0}+\lambda (-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}+{\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0})$

Velocidad instantánea del punto P en el movimiento {21} cuando P coincide con B

La velocidad absoluta de P es suma de la relativa más la de arrastre:

${\vec {v}}_{21}^{P}={\vec {v}}_{20}^{P}+{\vec {v}}_{01}^{P}$

Velocidad de arrastre {01}

En el instante de interés (cuando P coincide con B), el punto P se halla sobre el eje permanente de rotación {01} y, por tanto, la velocidad de arrastre es nula:

${\vec {v}}_{01}^{P}={\vec {v}}_{01}^{B}={\vec {0}}$

Velocidad relativa {20}

La velocidad relativa es la debida a un movimiento de rotación en torno a un eje que pasa por C:

${\vec {v}}_{20}^{P}=\underbrace {{\vec {v}}_{20}^{C}} _{\vec {0}}+{\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CP}}=(-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0})\times (R{\vec {k}}_{0})=-R{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0}$

Velocidad absoluta {21}

Al ser nula la velocidad de arrastre, la absoluta coincide con la relativa:

${\vec {v}}_{21}^{P}={\vec {v}}_{20}^{P}=-R{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0}$

Aceleración instantánea del punto P en el movimiento {21} cuando P coincide con B

La aceleración absoluta sigue la ley de composición:

${\vec {a}}_{21}^{P}={\vec {a}}_{20}^{P}+{\vec {a}}_{01}^{P}+2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}$

Aceleración de arrastre {01}

En el instante de interés (cuando P coincide con B), el punto P se halla sobre el eje permanente de rotación {01} y, por tanto, la aceleración de arrastre es nula:

${\vec {a}}_{01}^{P}={\vec {a}}_{01}^{B}={\vec {0}}$

Aceleración relativa {20}

Empleamos la expresión para la aceleración de un punto de un sólido rígido:

${\vec {a}}_{20}^{P}={\vec {a}}_{20}^{C}+{\vec {\alpha }}_{20}\times {\overrightarrow {CP}}+{\vec {\omega }}_{20}\times ({\vec {\omega }}_{20}\times {\overrightarrow {CP}})$

resultando la aceleración:

${\vec {a}}_{20}^{P}={\vec {0}}+(-{\ddot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0})\times (R{\vec {k}}_{0})+(-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0})\times ((-{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0})\times (R{\vec {k}}_{0}))=-R{\ddot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0}-R{\dot {\theta }}^{2}{\vec {k}}_{0}$

Término de Coriolis

Sustituyendo en la expresión de este producto:

$2{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {v}}_{20}^{P}=2({\dot {\varphi }}{\vec {k}}_{0})\times (-R{\dot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0})=-2R{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}$

Aceleración absoluta {21}

Sumando los tres términos:

${\vec {a}}_{21}^{P}=-R{\ddot {\theta }}{\vec {\imath }}_{0}-2R{\dot {\varphi }}{\dot {\theta }}{\vec {\jmath }}_{0}-R{\dot {\theta }}^{2}{\vec {k}}_{0}$