Esfera conductora en equilibrio electrostático

Enunciado

Se tiene una esfera metálica maciza de radio $a$ y no hay más conductores ni cargas en el sistema. Si la esfera almacena una carga total $Q$ calcule:

1. el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos del espacio.
2. el voltaje al que se encuentra
3. la densidad superficial de carga.
4. la energía electrostática que almacena.

Particularice los resultados anteriores para un radio $a=10\,\mathrm {cm}$ y una carga $Q=36\,\mathrm {nC}$.

Suponga ahora que lo que se conoce inicialmente su voltaje $V_{0}$, pero no su carga. Halle en ese caso la carga que almacena, así como el resto de las cantidades obtenidas anteriormente. Particularice los resultados anteriores para un voltaje $V_{0}=1.8\,\mathrm {kV}$.

Potencial y campo eléctrico

Una de las herramientas básica en el estudio del problema del potencial eléctrico es el “teorema de existencia y unicidad” que nos dice que la distribución de potencial en un conjunto de conductores en equilibrio electrostático existe y es única. Esto quiere decir que podemos hallarla por cualquier método, incluida la inspiración. Si cumple las condiciones del problema, es la solución, porque no hay otra.

En este problema tenemos un conductor esférico que almacena una carga $Q$. De este sistema sabemos que:

• El potencial en todos los puntos de la esfera es el mismo, aunque no sabemos cuanto vale

$V=V_{0}\qquad (r<a)$

• La carga total de la esfera es $Q$, lo que implica, para cualquier superficie que la rodee

$\varepsilon _{0}\oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=Q$

• Lejos de la esfera el potencial eléctrico se anula

$V\to 0\qquad (r\to \infty )$

• No hay más conductores ni cargas en el sistema.

En principio no podemos suponer que la carga se distribuye uniformemente por la superficie del conductor. Ese no es un dato del problema.

Sin embargo, conocemos un problema concreto que cumple todas las condiciones indicadas: el caso del potencial debido a una superficie esférica cargada uniformemente.

Tal como se ve en la solución de ese problema, el potencial de esa esfera vale

$V(r)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}a}}&r\leq a\\&\\\displaystyle {\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r}}&r>a\end{cases}}$

y por simple comprobación vemos que satisface todas las propiedades del sistema.

Por tanto, esta es la solución del problema.

El campo eléctrico, para este mismo sistema vale

${\vec {E}}={\begin{cases}{\vec {0}}&r<R\\&\\\displaystyle {\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&r>R\end{cases}}$

Voltaje de la esfera

El voltaje de la esfera es el correspondiente a $r<a$

$V_{0}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}a}}$

o, equivalente, si lo que conocemos es el potencial

$Q=CV\qquad \qquad C=4\pi \varepsilon _{0}a$

siendo $C$ la capacidad de un conductor esférico.

Densidad superficial de carga

Puesto que la carga resulta estar distribuida uniformemente, la densidad vale

$\sigma _{s}={\frac {Q}{4\pi a^{2}}}$

En la superficie de la esfera, por ser esta conductora, se cumple

${\vec {E}}(r=a^{+})={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}a^{2}}}{\vec {u}}_{r}={\frac {Q/4\pi a^{2}}{\varepsilon _{0}}}{\vec {u}}_{r}={\frac {\sigma _{s}}{\varepsilon _{0}}}{\vec {n}}$

El campo en la superficie se relaciona con el potencial al que se encuentra ésta, sustituyendo la relación entre la carga y el potencial

${\vec {E}}(r=a^{+})={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}a^{2}}}{\vec {u}}_{r}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}aV}{4\pi \varepsilon _{0}a^{2}}}{\vec {u}}_{r}={\frac {V}{a}}{\vec {u}}_{r}$

Energía electrostática

La energía electrostática almacenada en un sistema de conductores puede hallarse mediante la fórmula

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}Q_{1}V_{1}+{\frac {1}{2}}Q_{2}V_{2}+\cdots$

En este caso, que tenemos un solo conductor, esta suma se reduce a un solo término

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}QV_{0}$

Sustituyendo el valor del potencial de la esfera queda

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}\,{\frac {Q^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}a}}$

Valores numéricos

Sustituyendo los datos del enunciado

$Q=36\,\mathrm {nC} \qquad a=10\,\mathrm {cm}$

obtenemos el voltaje de la esfera

$V={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}a}}=9\times 10^{9}\times {\frac {36\times 10^{-9}}{10^{-1}}}\,\mathrm {V} =3.24\,\mathrm {kV}$

la densidad de carga superficial

$\sigma _{s}={\frac {Q}{4\pi a^{2}}}=2.86\times 10^{-7}\,{\frac {\mathrm {C} }{\mathrm {m} ^{2}}}$

y la energía almacenada

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}QV=58.32\,\mu \mathrm {J}$

Caso de voltaje conocido

Si el dato que nos dan es el voltaje $V_{0}$ tenemos que el problema es exactamente el mismo, solo que ahora sabemos el valor de $V$, pero ignoramos el de $Q$. Por tanto, no necesitamos volver a resolver el problema. Nos basta con emplear la solución que acabamos de dar, buscando previamente el valor de la carga que nos da $V_{0}$. Del potencial en el conductor tenemos que

$V_{0}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}a}}\qquad \Rightarrow \qquad Q=4\pi \varepsilon _{0}aV_{0}$

y ahora con este valor de la carga, simplemente sustituimos en las expresiones anteriores.

Potencial en todo el espacio

Queda, sustituyendo,

$V(r)={\begin{cases}\displaystyle V_{0}&r\leq a\\&\\\displaystyle {\frac {V_{0}a}{r}}&r>a\end{cases}}$

Campo eléctrico en todo el espacio

${\vec {E}}={\begin{cases}{\vec {0}}&r<a\\&\\\displaystyle {\frac {V_{0}a}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&r>R\end{cases}}$

Densidad de carga superficial

$\sigma _{s}={\frac {\varepsilon _{0}V_{0}}{a}}$

Dividiendo por $\varepsilon _{0}$ queda el campo en la superficie de la esfera.

Energía almacenada

Ahora, en lugar de sustituir el potencial, sustituimos la carga

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}QV_{0}={\frac {1}{2}}4\pi \varepsilon _{0}aV_{0}^{2}$

Siendo los valores numéricos

$Q=4\pi \varepsilon _{0}aV_{0}=2.0\,\mathrm {nC}$    $\sigma _{s}=0.159\,{\frac {\mu \mathrm {C} }{\mathrm {m} ^{2}}}$    $U_{e}=18\,\mu \mathrm {J}$