Paso de un pulso de corriente

Enunciado

Por un hilo rectilíneo de gran longitud y resistencia eléctrica $R_{1}$ circula una corriente variable en el tiempo, tal que su valor es

$I_{1}(t)={\begin{cases}I_{0}t(T-t)/T^{2}&0<t<T\\0&t<0\ \mathrm {o} \ t>T\end{cases}}$

1. Halle la carga que pasa por un punto del hilo entre $t\to -\infty$ y $t\to \infty$.
2. Calcule la energía disipada en el cable en el mismo tiempo.

Carga que recorre el hilo

La carga que pasa por una sección del hilo en un tiempo $\mathrm {d} t$ es

$\mathrm {d} Q=I(t)\,\mathrm {d} t$

Por lo que la carga total que pasa vale

$Q=\int _{-\infty }^{\infty }I(t)\,\mathrm {d} t$

En este caso, tenemos que la corriente es nula salvo en el intervalo $0<t<T$ por lo que el cálculo se reduce a

$Q=\int _{0}^{T}I(t)\,\mathrm {d} t={\frac {I_{0}}{T^{2}}}\int _{0}^{T}(tT-t^{2})\mathrm {d} t={\frac {I_{0}}{T^{2}}}\left({\frac {T^{3}}{2}}-{\frac {T^{3}}{3}}\right)={\frac {I_{0}T}{6}}$

Energía disipada en el hilo

La energía disipada se calcula de forma análoga a partir de la potencia

$W_{d}=\int _{0}^{T}I^{2}R_{1}\,\mathrm {d} t={\frac {I_{0}^{2}R_{1}}{T^{4}}}\int _{0}^{T}(tT-t^{2})^{2}\mathrm {d} t=$$\,\,{\frac {I_{0}^{2}R_{1}}{T^{4}}}\int _{0}^{T}(t^{2}T^{2}-2t^{3}T+t^{4})\mathrm {d} t={\frac {I_{0}^{2}R_{1}}{T^{4}}}\left({\frac {T^{5}}{3}}-2{\frac {T^{5}}{4}}+{\frac {T^{5}}{5}}\right)={\frac {I_{0}^{2}TR_{1}}{30}}$