Campo de distribuciones esféricas (GIOI)

Enunciado

Con ayuda de la ley de Gauss, calcule el campo eléctrico en todos los puntos del espacio para las siguientes distribuciones con simetría esférica:

1. Una superficie esférica de radio b que almacena una carga Q distribuida uniformemente.
2. Dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b) que almacenan respectivamente cargas +Q y -Q, distribuidas uniformemente.
3. Dos superficies esféricas concéntricas, de radios a y b (a < b) cargadas respectivamente con densidades superficiales uniformes $+\sigma _{0}$ y $-\sigma _{0}$.
4. Una esfera maciza de radio R que almacena una carga Q distribuida uniformemente en su volumen.
5. Una esfera maciza de radio $2R$ con una densidad de carga dependiente de la distancia al centro como $\rho (r)=A(R-r)$ ($r<2R$).

Caso general

La ley de Gauss establece que el flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la carga encerrada en su interior

$\oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\frac {Q_{\mathrm {int} }}{\varepsilon _{0}}}$

siendo $\varepsilon _{0}$ una constante universal conocida como permitividad del vacío.

La ley de Gauss, aunque siempre es cierta, no siempre es útil como herramienta para hallar el campo eléctrico. La razón es que del valor de una integral definida no se deduce el valor del integrando (existen infinitas funciones diferentes que tienen la misma integral definida en un dominio dado).

Existe un caso, no obstante, en que la ley de Gauss permite obtener el campo eléctrico. Si la distribución de carga posee simetría esférica o de revolución, de manera que se ve igual desde todas las direcciones, el campo eléctrico que produce va en la dirección radial y depende solo de la distancia al centro de la distribución

${\vec {E}}({\vec {r}})=E(r){\vec {u}}_{r}$

Este es el caso, por ejemplo, de una carga puntual. La cantidad $E(r)$ no es el módulo del campo, sino su componente radial, ya que tiene un signo que nos dice si va hacia afuera (caso de una carga positiva) o hacia adentro (caso de una carga negativa).

Hay que remarcar que no todas las distribuciones de carga en una esfera poseen simetría esférica. Por ejemplo, una esfera cargada positivamente en su hemisferio “norte” y negativamente en el “sur” no posee simetría esférica, ya que no todas las direcciones son equivalentes. No se ve lo mismo desde el norte que desde el sur o desde el ecuador.

Suponiendo que sí existe simetría esférica, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica puede hallarse explícitamente. Si toamos una superficie esférica de radio $r$ concéntrica con la distribución, el diferencial de superficie, ortogonal a ésta, va en la dirección radial

$\mathrm {d} {\vec {S}}=\mathrm {d} S\,{\vec {u}}_{r}$

Por ello, el flujo se reduce a una integral de un escalar

$\oint {\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=\oint (E(r){\vec {u}}_{r})\cdot (\mathrm {d} S\,{\vec {u}}_{r})=\oint E(r)\mathrm {d} S$

Ahora bien, dado que la superficie de integración es una esfera, todos sus puntos se encuentran a la misma distancia del centro y por tanto, el valor de la componente radial del campo, $E(r)$, tiene el mismo valor para todos ellos y puede extraerse de la integral

$\oint E(r)\mathrm {d} S=E(r)\oint \mathrm {d} S=4\pi r^{2}E(r)$

Hay que recordar que el campo no es el mismo para todos los puntos de la superficie esférica, ya que su dirección y sentido cambian de un punto a otro. Lo que es constante es el valor de su módulo.

Llevando esto a la ley de Gauss nos queda

$4\pi r^{2}E={\frac {Q_{\mathrm {int} }(r)}{\varepsilon _{0}}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q_{\mathrm {int} }(r)}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}$

Por tanto, para los sistemas con simetría esférica (y solo para ellos) el campo para cada distancia del centro equivale al de una carga puntual cuyo valor es igual al de toda la carga contenida en el volumen $r'<r$.

Para analizar las distribuciones siguientes solo hay que hallar $Q_{\mathrm {int} }(r)$ en cada caso.

Una superficie esférica

Para una superficie esférica cargada tenemos dos casos: un punto en el volumen interior, o en el exterior.

Punto exterior

Si consideramos una superficie esférica de radio $r>b$, la carga contenida por ella es toda la de la esfera,

$Q_{\mathrm {int} }=Q\qquad (r>b)$

por lo que

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}\qquad (r>b)$     

Punto interior

Si tomamos una superficie esférica concéntrica con la de la carga, pero interior a ella, la carga que encerramos es nula

$Q_{\mathrm {int} }=0\qquad (r<b)$

por lo que el campo en el interior de la esfera es nulo

${\vec {E}}={\vec {0}}\qquad (r<b)$

Reuniendo los dos resultados

${\vec {E}}={\begin{cases}{\vec {0}}&r<b\\&\\\displaystyle {\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&r>b\end{cases}}$

En palabras este resultado nos dice que el campo eléctrico creado por una superficie esférica uniformemente cargada es nulo en su interior y en el exterior es equivalente al de una carga puntual situada en el centro de la esfera y cuyo valor es el de la carga total.

Puesto que la ley de Gauss es aplicable también al campo gravitatorio, esto quiere decir que en un hipotético planeta hueco, el campo gravitatorio sería nulo, es decir que no podría haber habitantes caminando por el interior, pegados al suelo por el otro lado, sino que en todo caso flotarían en el interior.

El campo eléctrico de una superficie cargada posee un salto en la superficie, como ocurre siempre que hay una superficie cargada. El valor del salto es

${\vec {E}}(b^{+})-{\vec {E}}(b^{-})={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {u}}_{r}-{\vec {0}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {u}}_{r}={\frac {\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}}}{\vec {u}}_{r}$

donde

$\sigma _{0}={\frac {Q}{4\pi b^{2}}}$

es la densidad de carga en la superficie de la esfera.

Dos superficies esféricas

Para el caso de dos superficies esféricas podemos o bien aplicar el principio de superposición, empleando el resultado del apartado anterior, o bien aplicar directamente la ley de Gauss a la distribución completa.

Si optamos por lo segundo tenemos tres posibilidades según estemos en la región interior, la intermedia o la exterior.

Región interior

Para $r<a$ la carga encerrada es nula

$Q_{\mathrm {int} }=0\qquad (r<a)\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {E}}={\vec {0}}\qquad (r<a)$

Región intermedia

Una superficie situada entre las dos esferas de carga contiene a la más pequeña, pero no a la grande

$Q_{\mathrm {int} }=+Q\qquad (a<r<b)\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {E}}={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}\qquad (a<r<b)$

Región exterior

Una superficie por fuera de la esfera mayor contiene tanto a la carga de ésta como a la de la esfera pequeña

$Q_{\mathrm {int} }=+Q-Q=0\qquad (r>b)\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {E}}={\vec {0}}\qquad (r>b)$     

Reuniendo los tres resultados

${\vec {E}}={\begin{cases}{\vec {0}}&r<a\\&\\\displaystyle {\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&a<r<b\\&\\{\vec {0}}&b<r\end{cases}}$

En este caso, el campo presenta dos discontinuidades, una en cada superficie de carga.

Otras dos superficies esféricas

Este puede se parece al anterior, pero no es equivalente. Las dos esferas tienen cargas de signo opuesto, pero su valor es diferente, al serlo el área de cada una. Las cargas respectivas valen

$Q_{1}=+4\pi a^{2}\sigma _{0}\qquad \qquad Q_{2}=-4\pi b^{2}\sigma _{0}$

Aplicando el mismo razonamiento que en el apartado anterior

Región interior

Para $r<a$ la carga encerrada es nula

$Q_{\mathrm {int} }=0\qquad (r<a)\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {E}}={\vec {0}}\qquad (r<a)$

Región intermedia

En $a<r<b$ solo se contiene a la carga de la esfera menor

$Q_{\mathrm {int} }=Q_{1}=4\pi a^{2}\sigma _{0}\qquad (a<r<b)\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {E}}={\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}={\frac {a^{2}\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}\qquad (a<r<b)$

Región exterior

Una superficie por fuera de la esfera mayor contiene tanto a la carga de las dos esferas

$Q_{\mathrm {int} }=Q_{1}+Q_{2}=-4\pi (b^{2}-a^{2})\sigma _{0}\qquad (r>b)$ ${\vec {E}}={\frac {Q_{1}+Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}=-{\frac {(b^{2}-a^{2})\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}\qquad (r>b)$

Reuniendo los tres resultados

${\vec {E}}={\begin{cases}{\vec {0}}&r<a\\&\\\displaystyle {\frac {Q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&a<r<b\\&\\\displaystyle {\frac {Q_{1}+Q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&r>b\end{cases}}={\begin{cases}{\vec {0}}&r<a\\&\\\displaystyle {\frac {a^{2}\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&a<r<b\\&\\\displaystyle -{\frac {(b^{2}-a^{2})\sigma _{0}}{\varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&r>b\end{cases}}$

El campo presenta de nuevo dos discontinuidades. En este caso no se anula el campo en el exterior porque el sistema posee carga neta.

Un volumen esférico

Una esfera maciza cargada uniformemente posee una densidad volumétrica de carga igual a

$\rho _{0}={\frac {Q}{4\pi b^{3}/3}}={\frac {3Q}{4\pi b^{3}}}$

En este caso, todas las superficies contienen algo de carga, que depende de qué radio tomemos. Tenemos dos casos,

Punto exterior

Si consideramos una superficie esférica de radio $r>b$, la carga contenida por ella es toda la de la esfera,

$Q_{\mathrm {int} }=Q\qquad (r>b)$

por lo que

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q}{r^{2}}}{\vec {u}}_{r}\qquad (r>b)$     

Punto interior

Si tomamos una superficie esférica concéntrica con la de la carga, pero interior a ella, la carga que encerramos depende del radio considerado, ya que solo abarcamos parte de la carga de la esfera

$Q_{\mathrm {int} }=\rho _{0}\left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)={\frac {Qr^{3}}{b^{3}}}\qquad (r<b)$

por lo que el campo en el interior de la esfera vale

$4\pi r^{2}E={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}\rho _{0}\left({\frac {4\pi }{3}}r^{3}\right)\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {E}}={\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}r{\vec {u}}_{r}\qquad (r<b)$

Vemos que el campo eléctrico en el interior de la esfera aumenta linealmente con la distancia, siendo nulo solo en su centro. Puede escribirse en función del vector de posición

$r{\vec {u}}_{r}={\vec {r}}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {E}}={\frac {1}{3\varepsilon _{0}}}\rho _{0}{\vec {r}}={\frac {Q{\vec {r}}}{4\pi \varepsilon _{0}b^{3}}}$

Reuniendo las dos expresiones en su forma más usual

${\vec {E}}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {\rho _{0}}{3\varepsilon _{0}}}{\vec {r}}&r<b\\&\\\displaystyle {\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&r>b\end{cases}}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {Qr}{4\pi \varepsilon _{0}b^{3}}}{\vec {u}}_{r}&r<b\\&\\\displaystyle {\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}&r>b\end{cases}}$

Las dos pueden escribirse en términos de la carga total o de la densidad de carga sin más que sustituir la relación anterior

$\rho _{0}={\frac {Q}{4\pi b^{3}/3}}={\frac {3Q}{4\pi b^{3}}}$

Una esfera no unidorme

Cuando tenemos una densidad variable es necesario hallar de forma integral la cantidad de carga encerrada.

Consideramos una superficie esférica de radio $r$ concéntrica con la distribución. La cantidad de carga que contiene será igual a la integral de la densidad de carga

$Q_{\mathrm {int} }(r)=\int _{0}^{r}\rho (r')\mathrm {d} V'$

Como elementos de volumen consideramos campas esféricas de espesor $\mathrm {d} r'$, siendo el diferencial de volumen el producto del área por el espesor

$\mathrm {d} V=4\pi r'^{2}\,\mathrm {d} r'$

lo que nos da la integral

$Q_{\mathrm {int} }(r)=4\pi \int _{0}^{r}\rho (r')r'^{2}\mathrm {d} r'$

Para el caso de la densidad de carga del enunciado tenemos de nuevo dos casos:

Punto interior

La integral abarca parte de la carga total, siendo valor

$Q_{\mathrm {int} }(r)=4\pi A\int _{0}^{r}(R-2r')r'^{2}\mathrm {d} r'=4\pi A\left({\frac {Rr^{3}}{3}}-2{\frac {r^{4}}{4}}\right)={\frac {2\pi Ar^{3}(2R-3r)}{3}}\qquad (r<R)$

siendo el campo

${\vec {E}}={\frac {Q_{\mathrm {int} }(r)}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}={\frac {Ar(2R-3r)}{6\varepsilon _{0}}}{\vec {u}}_{r}\qquad (r<R)$   

Punto exterior

En este caso hay que tener en cuenta que la densidad de carga “se acaba” al llegar a $r=R$. En el exterior de la esfera no hay carga, por lo que si consideramos una superficie con $r>R$ la carga encerrada es toda la que hay

$Q_{\mathrm {int} }(r>R)=4\pi A\int _{0}^{R}(R-2r')r'^{2}\mathrm {d} r'=4\pi A\left({\frac {R^{4}}{3}}-{\frac {R^{4}}{2}}\right)=-{\frac {2\pi AR^{4}}{3}}\qquad (r>R)$

siendo el campo exterior el de una carga puntual negativa

${\vec {E}}={\frac {Q_{\mathrm {int} }(r)}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}=-{\frac {AR^{4}}{6\varepsilon _{0}r^{2}}}{\vec {u}}_{r}\qquad (r>R)$

La gráfica de la dependencia del campo eléctrico con la distancia al centro es más complicada que en los casos anteriores. En el interior el campo sigue una dependencia parabólica. Cerca del centro, cargado positivamente, el campo va hacia al exterior (signo positivo en la gráfica), a medida que nos alejamos, el campo de la carga negativa compensa el de la positiva (a una distancia $r=2R/3$ en que el campo se anula) y a partir de ahí lo supera, produciendo un campo hacia adentro (signo negativo en la gráfica). Para $r>R$ tenemos el decaimiento como la inversa del cuadrado, característica de una una carga puntual, negativa en este caso.