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Discos conductores en el interior de corteza esférica

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

La figura representa la sección transversal de un sistema de tres conductores consistente en una corteza esférica de radio \displaystyle a (conductor 3), en cuyo interior hay dos discos paralelos de radio \displaystyle a/2 (conductores 1 y 2), separados por una distancia \displaystyle a/16 y simétricamente dispuestos respecto del plano ecuatorial del conductor esférico. Inicialmente todo el sistema está conectado a tierra. En un determinado instante, sólo la corteza se conecta a una fuente de potencial \displaystyle V_0 y se comprueba que la energía electrostática del sistema ha sufrido una variación ΔUe = W0.
  1. Diseñe el circuito equivalente e indique los valores de las capacidades que puedan ser conocidos analíticamente. ¿Qué capacidades no poseen expresión analítica sencilla?
  2. A partir de la energía \displaystyle W_0, determine el valor de las cargas eléctricas totales en los tres conductores y obtenga las capacidades desconocidas.
  3. Obtenga la matriz de coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema de conductores.
  4. Calcule la nueva configuración de cargas y potenciales y la energía del sistema cuando se aíslan los discos 1 y 2, y el conductor 3 se vuelve a conectar a tierra.

2 Solución

2.1 Circuito equivalente y capacidades con expresión analítica

Consideramos la situación general del sistema de tres conductores bajo estudio: éstos almacenan sendas cantidades de carga eléctrica, \displaystyle Q_1\mathrm{,}\, Q_2\, \mathrm{y}\, Q_3, hallándose a los respectivos valores de potencial \displaystyle V_1\mathrm{,}\, V_2\, \mathrm{y}\, V_3, respecto del infinito (conductor de referencia).

Como sabemos, estas cantidades de carga eléctrica y potencial no pueden ser cualesquiera, sino que deben estar relacionadas por la expresión matricial,

\begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \end{pmatrix}

donde \displaystyle C_{ij} son los coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema, los cuáles sólo dependen de su geometría.

También podemos describir las propiedades eléctricas del sistema mediante un circuito equivalente que presenta, además del conductor de referencia “0”, tantos nodos como conductores tenga el sistema (tres en nuesto caso). Entre cada par de conductores que se encuentran en influencia total o parcial, sde coloca un condensador de capacidad

\overline{C}_{ij}=\frac{Q_{ij}}{V_i-V_j}=\frac{Q_{ji}}{V_j-V_i}

que modela el tubo de campo eléctrico existente entre los conductores i y j cuando entre ellos existe una diferencia de potencial \displaystyle V_{i}-V_{j}. Dicho tubo de campo define en las superficies de ambos conductores sendas regiones parciales que se hallan en influencia total (es decir, forman un condensador), y en las que se distribuyen las cantidades parciales de carga eléctrica \displaystyle Q_{ij} y \displaystyle -Q_{ji}, siendo \displaystyle Q_{ij}=-Q_{ji}.

Si entre la superficie del conductor i y el de referencia existe también un tubo de campo eléctrico, éste configura otro condensador caracterizados por la autocapacidad,
\overline{C}_{ii}=\frac{Q_{ii}}{V_i}

siendo \displaystyle Q_{ii} la cantidad parcial de carga del conductor i distribuida en la parte de la superficie del conductor i que forma un condensador (en influencia total) con el de referencia.

Cuando los tres conductores del sistema bajo estudio se encuentren a valores de potencial \displaystyle V_1\mathrm{,}\, V_2\, \mathrm{y}\, V_3, distintos, existirán tubos de campo entre cada par de ellos, que estarán caracterizados por las capacidades eléctricas \displaystyle\overline{C}_{12}\mathrm{,}\, \overline{C}_{13}\mathrm{,}\,\overline{C}_{23}. También habrá líneas de campo eléctrico entre la superficie exterior del conductor esférico “3” y el infinito (conductor de referencia), luego se tendrán que la autocapacidad \displaystyle\overline{C}_{33} será no nula.

Por el contrario, como los discos conductores “1” y “2” están dentro de la corteza conductora “3” ésta los apantalla, de manera que, nunca habrá líneas de campo entre aquellos conductores y el de referencia y, en consecuencia, tampoco estarán en el circuito equivalente las autocapacidades \displaystyle\overline{C}_{11} y \displaystyle\overline{C}_{22}. Desde otro punto de vista, como en los conductores “1” y “2” no hay cantidades parciales de carga eléctrica en influencia total con el infinito, se tendrá:

\displaystyle Q_{11}=Q_{22}=0       \Rightarrow       \overline{C}_{11}=\overline{C}_{22}=0

Analicemos el sistema y comprobemos si podemos conocer las capacidades de los otros condensadores del circuito equivalente. La capacidad \displaystyle\overline{C}_{33} es la del condensador que forma la superficie esférica exterior del conductor “3” con el infinito; es decir, se trata de la capacidad eléctrica de un conductor esférico de radio \displaystyle a. Por tanto,

\displaystyle \overline{C}_{33}=4\pi\varepsilon_0 a

El tubo de corriente entre los conductores “1” y “2” se localizará entre las caras interiores enfrentadas de dichos discos. Por tanto, \displaystyle \overline{C}_{12} es la capacidad eléctrica del condensador de placas placas plano-paralelas que forman dichas caras. Y puesto que el diámetro de los discos es 16 veces mayor que la distancia que los separa, podemos considerar que la capacidad de dicho condensador es,

\displaystyle\overline{C}_{12}=\frac{\varepsilon_0 S}{d}=\frac{\varepsilon_0 \pi (a/2)^2}{a/16}=4\pi\varepsilon_0 a

Finalmente, \displaystyle \overline{C}_{13} y \displaystyle \overline{C}_{23} son, respectivamente, las capacidades de los condensadores que forman las caras exteriores de los discos “1” y “2” con la cara interior de la corteza esférica conductora “3”. Es evidente que la geometría de estos condensadores no se corresponde con ninguno de los casos sencillos de condensadores que hemos estudiado (plano-paralelo, cilíndrico y esférico). Y tampoco es fácil obtener una expresión analítica de su capacidad en función de los parámetros geométricos, ya que el potencial va a ser función explícita de más de una coordenada -por ejemplo, \displaystyle \phi=\phi(r,\theta-, por lo que resolver el problema del potencial implica encontrar la solución a una ecuación diferencial de segundo orden en derivadas parciales. En consecuencia, para obtener los valores de \displaystyle \overline{C}_{13} y \displaystyle \overline{C}_{23} deberemos recurrir a otro tipo de procedimientos, como la utilización de métodos experimentales (como haremos en el siguiente apartado) o numéricos.

No obstante, aún podemos saber algo sobre dichas capacidades teniendo en cuenta que la geometría del sistema de conductores bajo estudio es simétrica respecto del plano ecuatorial (línea de puntos en la figura). Obsérvese que si ponemos los discos “1” y “2” al mismo valor de potencial, V, y el conductor “3” a tierra, las líneas de campo eléctrico que parten de “1” y “2” y terminan en la cara interior de “3” serán simétricas respecto del plano ecuatorial. Como consecuencia de ello, las distribuciones de carga eléctrica en las caras exteriores de los discos serán idénticas y se tendrán, por tanto,
\displaystyle Q_{13}=Q_{23}=q       \Rightarrow       \displaystyle \overline{C}_{13}=\frac{q}{V}=\overline{C}_{23}

Y como estas capacidades sólo dependen de la geometría del sistema está igualdad debe cumplirse siempre.

2.2 Obtención de las capacidades no analíticas

2.2.1 Cargas eléctricas en el sistema cuando \displaystyle V_3=V_0 y otros conductores a tierra

Partiendo del estado inicial A en que los tres conductores están conectados a tierra y, en consecuencia, descargados

\displaystyle V_1^\mathrm{A}=V_2^\mathrm{A}=V_3^\mathrm{A}=0       \Rightarrow       Q_1^\mathrm{A}=Q_2^\mathrm{A}=Q_3^\mathrm{A}=0

se conecta el conductor “3” a un valor de potencial \displaystyle V_0 manteniendo los discos “1” y “2” a tierra. Se alcanza así un estado final de equilibrio electrostático, B, en que las cargas eléctricas en cada conductor son desconocidas a priori, sin embargo, siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior podemos inferior que los discos deben almacenar idénticas cantidades de carga:

\displaystyle V_1^\mathrm{B}=V_2^\mathrm{B}=0\mathrm{;}\quad V_3^\mathrm{B}=V_0       \Rightarrow       Q_1^\mathrm{B}=Q_2^\mathrm{B}=q'\mathrm{;}\quad Q_3^\mathrm{B}=q_0
Teniendo en cuenta la expresión general de la energía electrostática almacenada por un sistema de conductores, se obtiene,
U_e=\frac{1}{2}\big( Q_1V_1+Q_2V_2+Q_3V_3\big)       \Rightarrow       \left\{\begin{array}{l}U_e^\mathrm{A}=0\\ \\
\displaystyle U_e^\mathrm{B}=\frac{1}{2}q_0V_0\end{array}\right.

Por tanto, podemos utilizar el valor del incremento de la energía potencial para determinar la cantidad de carga eléctrica total almancenada en la corteza esférica conductora en el estado final:

W_0=U_e^\mathrm{B}-U_e^\mathrm{A}=\frac{1}{2}q_0V_0       \Rightarrow       Q_3^\mathrm{fin}=q_0=\frac{2W_0}{V_0}

El teorema de Faraday establece que, en toda situación de equilibrio electrostático, la carga en el hueco de la corteza esférica (es decir, la carga total en los discos conductores “1” y “2”) debe ser opuesta a la cantidad de carga que hay en la superficie interior de ésta. Por otra parte, ésta carga es igual la del conductor “3”, \displaystyle Q_3, menos la que se halla en la superficie exterior cuando ésta se halla a potencial \displaystyle V_3:

\left.\begin{array}{r}\displaystyle Q_1+Q_2=-Q_3\rfloor_\mathrm{int}\\ \\
\displaystyle Q_3=Q_3\rfloor_\mathrm{int}+Q_3\rfloor_\mathrm{ext}\end{array}\right\}       \Rightarrow       Q_1+Q_2=4\pi\varepsilon_0aV_3-Q_3

Si particularizamos esta expresión al caso correspondiente del estado B del sistema, se tendrá:

2q'=4\pi\varepsilon_0aV_0-q_0       \Rightarrow       Q_1^\mathrm{B}=Q_2^\mathrm{B}=q'=2\pi\varepsilon_0aV_0-\frac{W_0}{V_0}

2.2.2 Capacidades no analíticas

Para determinar el valor de las capacidades desconocidas utilizamos el circuito equivalente. En general, las cargas en los conductores “1” y “2” se distribuirán de la siguiente forma:

\begin{array}{l} Q_1=Q_{12}+Q_{13}=\overline{C}_{12}(V_1-V_2)+\overline{C}_{13}(V_1-V_3)\\ \\ Q_2=Q_{21}+Q_{23}=\overline{C}_{12}(V_2-V_1)+\overline{C}_{23}(V_2-V_3)\end{array}

pues, como ya se discutió en el primer apartado al construir el circuito equivalente, las autocapacidades de estos conductores son nulas. Es fundamental tener en cuenta que las capacidades de los condensadores del circuito equivalente dependen exclusivamente de la geometría del sistema, de manera que los valores de cargas y potenciales en una determinada configuración (por ejemplo, la que hemos llamado estado final en este apartado), deben ser tales que se verifiquen las anteriores relaciones. En consecuencia, se tendrá que,

\left.\begin{array}{l}q'=Q_1^\mathrm{fin}=\overline{C}_{12}(V_1^\mathrm{fin}-V_2^\mathrm{fin})+\overline{C}_{13}(V_1^\mathrm{fin}-V_3^\mathrm{fin})=-\overline{C}_{13}V_0\\ \\ q'=Q_2^\mathrm{fin}=\overline{C}_{12}(V_2^\mathrm{fin}-V_1^\mathrm{fin})+\overline{C}_{23}(V_2^\mathrm{fin}-V_3^\mathrm{fin})=-\overline{C}_{23}V_0\end{array}\right\}            \displaystyle \overline{C}_{13}=\overline{C}_{23}=-\frac{q'}{V_0}=\frac{W_0}{V_0^2}-2\pi\varepsilon_0a

Ha de insistirse en la idea de que estas capacidades dependen exclusivamente de la geometría, de manera que aunque se hubiese puesto el conductor “3” a un potencial \displaystyle V', distinto de \displaystyle V_0, las capacidades \displaystyle \overline{C}_{13} y \displaystyle \overline{C}_{23} tendrían el mismo valor que acabamos de calcular. Esto implica que, en ese caso, la variación de energía electrostática habría sido una cantidad \displaystyle W' tal que,

\displaystyle \frac{W'}{V'^2}=\frac{W_0}{V_0^2}

2.3 Matriz de coeficientes de capacidad e inducción eléctrica

Una vez determinados los valores de las capacidades y autocapacidad del circuito equivalente, obtenemos la matriz de coeficientes

\mathsf{C}=\bigg(C_{ij}\bigg)_{3\times 3}

sin más que aplicar las relaciones de estos coeficientes con las \displaystyle \overline{C}_{ii} y \displaystyle \overline{C}_{ij}:

C_{ii}=\sum_{j=1}^3\overline{C}_{ij};        C_{ij}=-\overline{C}_{ij}\qquad (i \neq j)

A partir de los resultados obtenidos en los apartados anteriores, se obtiene,

\displaystyle\mathsf{C}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \displaystyle C+C_\mathrm{cond} & -2C_\mathrm{cond} & \displaystyle C-C_\mathrm{cond} \\ \\ -2C_\mathrm{cond} & \displaystyle C+C_\mathrm{cond} & \displaystyle C-C_\mathrm{cond} \\ \\ \displaystyle C-C_\mathrm{cond} & \displaystyle C-C_\mathrm{cond} & \displaystyle 2C\end{pmatrix}

donde \displaystyle C_\mathrm{cond}=4\pi\varepsilon_0 a es la capacidad de la superficie esferica exterior de la corteza conductora (conductor “3”), y también del condensador de placas plano-paralelas que forman los dos discos (conductores “1” y “2”):

\displaystyle C_\mathrm{cond}=4\pi\varepsilon_0 a=\overline{C}_{33}=\overline{C}_{12}

Por su parte, \displaystyle C es una cantidad fija con dimensiones de capacidad eléctrica, que se define como la relación entre el doble de la energía electrostática almacenada por el sistema y el cuadrado del potencial del conductor “3”, cuando los otros dos conductores se conectan a tierra.

\displaystyle C=\frac{2W_0}{V_0^2}=\frac{2U_e}{V_3^2}\bigg\rfloor_{V_1=V_2=0}

2.4 Nueva configuración de cargas y potenciales

Se desconectan del conductor de referencia los discos “1” y “2” de manera que éstos quedan aislados: es decir, mantienen la carga que tenían antes de desconectarlos y pasan a estar a valores de potencial desconocidos. A la vez, el conductor “3” se conecta a tierra, por lo que ahora su potencial será ahora nulo y habrá cambiado la carga que almancena. En el nuevo estado C de equilibrio electrostático que alcanza el sistema se tendrá:

Q_1^\mathrm{C}=Q_2^\mathrm{C}=q'=\left(2\pi\varepsilon_0a-\frac{W_0}{V_0^2}\right)\ \mathrm{;} \qquad \qquad V_3^C=0

Los valores desconocidos de carga y potencial, \displaystyle V_1^C, \displaystyle V_2^C y \displaystyle Q_3^C los obtenemos teniendo en cuenta que los valores de carga y potencial en el nuevo estado están siempre relacionados por la matriz de coeficientes de capacidad de inducción eléctrica:

\mathbf{Q}=\mathsf{C}\ \mathbf{V}\qquad\longrightarrow\qquad\displaystyle\begin{pmatrix} q' \\ \\ q' \\ \\ Q_3^C\end{pmatrix}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} \displaystyle C+C_\mathrm{cond} & -2C_\mathrm{cond} & \displaystyle C-C_\mathrm{cond} \\ \\ -2C_\mathrm{cond} & \displaystyle C+C_\mathrm{cond} & \displaystyle C-C_\mathrm{cond} \\ \\ \displaystyle C-C_\mathrm{cond} & \displaystyle C-C_\mathrm{cond} & \displaystyle 2C\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} V_1^C \\ \\ V_2^C \\ \\ 0\end{pmatrix}

Y resolviendo este sistema de ecuaciones algebraicas se obtienen los valores de carga y potenciales que faltaban en la nueva configuración:

\left.\begin{array}{l}\displaystyle q'=\frac{C+C_\mathrm{cond}}{2}\ V_1^C-C_\mathrm{cond}V_2\\ \\
\displaystyle q'=-C_\mathrm{cond} V_1^C+\frac{C+C_\mathrm{cond}}{2} V_2\\ \\
\frac{C-C_\mathrm{cond}}{2}\ \left( V_1^C+V_2^C\right)\end{array}\right\}

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