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Discos conductores en el interior de corteza esférica

De Laplace

1 Enunciado

La figura representa la sección transversal de un sistema de tres conductores consistente en una corteza esférica de radio \displaystyle a (conductor 3), en cuyo interior hay dos discos paralelos de radio \displaystyle a/2 (conductores 1 y 2), separados por una distancia \displaystyle a/16 y simétricamente dispuestos respecto del plano ecuatorial del conductor esférico. Inicialmente todo el sistema está conectado a tierra. En un determinado instante, sólo la corteza se conecta a una fuente de potencial \displaystyle V_0 y se comprueba que la energía electrostática del sistema ha sufrido una variación ΔUe = W0.
  1. Diseñe el circuito equivalente e indique los valores de las capacidades que puedan ser conocidos analíticamente. ¿Qué capacidades no poseen expresión analítica sencilla?
  2. A partir de la energía \displaystyle W_0, determine el valor de las cargas eléctricas totales en los tres conductores y obtenga las capacidades desconocidas.
  3. Obtenga la matriz de coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema de conductores.
  4. Calcule la nueva configuración de cargas y potenciales y la energía del sistema cuando se aíslan los discos 1 y 2, y el conductor 3 se vuelve a conectar a tierra.

2 Solución

2.1 Circuito equivalente y capacidades con expresión analítica

Consideramos la situación general del sistema de tres conductores bajo estudio: éstos almacenan sendas cantidades de carga eléctrica, \displaystyle Q_1\mathrm{,}\, Q_2\, \mathrm{y}\, Q_3, hallándose a los respectivos valores de potencial \displaystyle V_1\mathrm{,}\, V_2\, \mathrm{y}\, V_3, respecto del infinito (conductor de referencia).

Como sabemos, estas cantidades de carga eléctrica y potencial no pueden ser cualesquiera, sino que deben estar relacionadas por la expresión matricial,

\begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \end{pmatrix}

donde \displaystyle C_{ij} son los coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema, los cuáles sólo dependen de su geometría.

También podemos describir las propiedades eléctricas del sistema mediante un circuito equivalente que presenta, además del conductor de referencia “0”, tantos nodos como conductores tenga el sistema (tres en nuesto caso). Además, entre cada par de conductores i y j que se encuentran en influencia total o parcial, existe un condesador de capacidad

\overline{C}_{ij}=\frac{Q_{ij}}{V_i-V_j}=\frac{Q_{ji}}{V_j-V_i}

donde \displaystyle Q_{ij}=-Q_{ji} son las cantiadas de carga parcial en dichos conductores que se hallan en influencia. Estos condesadores va a permitir modelar la energía eléctrica que se almacena en el tubo de campo eléctrico situado entre los conductores i y Texto en cursiva cuando entre ellos existe una diferencia de potencial.

Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/Discos_conductores_en_el_interior_de_corteza_esf%C3%A9rica"

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