Discos conductores en el interior de corteza esférica

De Laplace

Revisión a fecha de 21:42 6 jul 2011; Gabriel (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Solución
- 2.1 Circuito equivalente y capacidades con expresión analítica
- 2.2 Obtención de las capacidades no analíticas

1 Enunciado

La figura representa la sección transversal de un sistema de tres conductores consistente en una corteza esférica de radio $\displaystyle a$ (conductor 3), en cuyo interior hay dos discos paralelos de radio $\displaystyle a/2$ (conductores 1 y 2), separados por una distancia $\displaystyle a/16$ y simétricamente dispuestos respecto del plano ecuatorial del conductor esférico. Inicialmente todo el sistema está conectado a tierra. En un determinado instante, sólo la corteza se conecta a una fuente de potencial $\displaystyle V_0$ y se comprueba que la energía electrostática del sistema ha sufrido una variación

Δ U e = W 0

.

Diseñe el circuito equivalente e indique los valores de las capacidades que puedan ser conocidos analíticamente. ¿Qué capacidades no poseen expresión analítica sencilla?
A partir de la energía $\displaystyle W_0$ , determine el valor de las cargas eléctricas totales en los tres conductores y obtenga las capacidades desconocidas.
Obtenga la matriz de coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema de conductores.
Calcule la nueva configuración de cargas y potenciales y la energía del sistema cuando se aíslan los discos 1 y 2, y el conductor 3 se vuelve a conectar a tierra.

2 Solución

2.1 Circuito equivalente y capacidades con expresión analítica

Consideramos la situación general del sistema de tres conductores bajo estudio: éstos almacenan sendas cantidades de carga eléctrica, $\displaystyle Q_1\mathrm{,}\, Q_2\, \mathrm{y}\, Q_3$ , hallándose a los respectivos valores de potencial $\displaystyle V_1\mathrm{,}\, V_2\, \mathrm{y}\, V_3$ , respecto del infinito (conductor de referencia).

Como sabemos, estas cantidades de carga eléctrica y potencial no pueden ser cualesquiera, sino que deben estar relacionadas por la expresión matricial,

$\begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} V_1 \\ V_2 \\ V_3 \end{pmatrix}$

donde $\displaystyle C_{ij}$ son los coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema, los cuáles sólo dependen de su geometría.

También podemos describir las propiedades eléctricas del sistema mediante un circuito equivalente que presenta, además del conductor de referencia “0”, tantos nodos como conductores tenga el sistema (tres en nuesto caso). Entre cada par de conductores que se encuentran en influencia total o parcial, sde coloca un condensador de capacidad

$\overline{C}_{ij}=\frac{Q_{ij}}{V_i-V_j}=\frac{Q_{ji}}{V_j-V_i}$

que modela el tubo de campo eléctrico existente entre los conductores i y j cuando entre ellos existe una diferencia de potencial $\displaystyle V_{i}-V_{j}$ . Dicho tubo de campo define en las superficies de ambos conductores sendas regiones parciales que se hallan en influencia total (es decir, forman un condensador), y en las que se distribuyen las cantidades parciales de carga eléctrica $\displaystyle Q_{ij}$ y $\displaystyle -Q_{ji}$ , siendo $\displaystyle Q_{ij}=-Q_{ji}$ .

Si entre la superficie del conductor i y el de referencia existe también un tubo de campo eléctrico, éste configura otro condensador caracterizados por la autocapacidad, $\overline{C}_{ii}=\frac{Q_{ii}}{V_i}$

siendo $\displaystyle Q_{ii}$ la cantidad parcial de carga del conductor i distribuida en la parte de la superficie del conductor i que forma un condensador (en influencia total) con el de referencia.

Cuando los tres conductores del sistema bajo estudio se encuentren a valores de potencial $\displaystyle V_1\mathrm{,}\, V_2\, \mathrm{y}\, V_3$ , distintos, existirán tubos de campo entre cada par de ellos, que estarán caracterizados por las capacidades eléctricas $\displaystyle\overline{C}_{12}\mathrm{,}\, \overline{C}_{13}\mathrm{,}\,\overline{C}_{23}$ . También habrá líneas de campo eléctrico entre la superficie exterior del conductor esférico “3” y el infinito (conductor de referencia), luego se tendrán que la autocapacidad $\displaystyle\overline{C}_{33}$ será no nula.

Por el contrario, como los discos conductores “1” y “2” están dentro de la corteza conductora “3” ésta los apantalla, de manera que, nunca habrá líneas de campo entre aquellos conductores y el de referencia y, en consecuencia, tampoco estarán en el circuito equivalente las autocapacidades $\displaystyle\overline{C}_{11}$ y $\displaystyle\overline{C}_{22}$ . Desde otro punto de vista, como en los conductores “1” y “2” no hay cantidades parciales de carga eléctrica en influencia total con el infinito, se tendrá:

$\displaystyle Q_{11}=Q_{22}=0$ $\Rightarrow$ $\overline{C}_{11}=\overline{C}_{22}=0$

Analicemos el sistema y comprobemos si podemos conocer las capacidades de los otros condensadores del circuito equivalente. La capacidad $\displaystyle\overline{C}_{33}$ es la del condensador que forma la superficie esférica exterior del conductor “3” con el infinito; es decir, se trata de la capacidad eléctrica de un conductor esférico de radio $\displaystyle a$ . Por tanto,

$\displaystyle \overline{C}_{33}=4\pi\varepsilon_0 a$

El tubo de corriente entre los conductores “1” y “2” se localizará entre las caras interiores enfrentadas de dichos discos. Por tanto, $\displaystyle \overline{C}_{12}$ es la capacidad eléctrica del condensador de placas placas plano-paralelas que forman dichas caras. Y puesto que el diámetro de los discos es 16 veces mayor que la distancia que los separa, podemos considerar que la capacidad de dicho condensador es,

$\displaystyle\overline{C}_{12}=\frac{\varepsilon_0 S}{d}=\frac{\varepsilon_0 \pi (a/2)^2}{a/16}=4\pi\varepsilon_0 a$

Finalmente, $\displaystyle \overline{C}_{13}$ y $\displaystyle \overline{C}_{23}$ son, respectivamente, las capacidades de los condensadores que forman las caras exteriores de los discos “1” y “2” con la cara interior de la corteza esférica conductora “3”. Es evidente que la geometría de estos condensadores no se corresponde con ninguno de los casos sencillos de condensadores que hemos estudiado (plano-paralelo, cilíndrico y esférico). Y tampoco es fácil obtener una expresión analítica de su capacidad en función de los parámetros geométricos, ya que el potencial va a ser función explícita de más de una coordenada -por ejemplo, $\displaystyle \phi=\phi(r,\theta$ -, por lo que resolver el problema del potencial implica encontrar la solución a una ecuación diferencial de segundo orden en derivadas parciales. En consecuencia, para obtener los valores de $\displaystyle \overline{C}_{13}$ y $\displaystyle \overline{C}_{23}$ deberemos recurrir a otro tipo de procedimientos, como la utilización de métodos experimentales (como haremos en el siguiente apartado) o numéricos.

No obstante, aún podemos saber algo sobre dichas capacidades teniendo en cuenta que la geometría del sistema de conductores bajo estudio es simétrica respecto del plano ecuatorial (línea de puntos en la figura). Obsérvese que si ponemos los discos “1” y “2” al mismo valor de potencial,

V

, y el conductor “3” a tierra, las líneas de campo eléctrico que parten de “1” y “2” y terminan en la cara interior de “3” serán simétricas respecto del plano ecuatorial. Como consecuencia de ello, las distribuciones de carga eléctrica en las caras exteriores de los discos serán idénticas y se tendrán, por tanto, $\displaystyle Q_{13}=Q_{23}=q$ $\Rightarrow$ $\displaystyle \overline{C}_{13}=\frac{q}{V}=\overline{C}_{23}$

Y como estas capacidades sólo dependen de la geometría del sistema está igualdad debe cumplirse siempre.

2.2 Obtención de las capacidades no analíticas

Partiendo del estado inicial en que los tres conductores están conectados a tierra y, en consecuencia, descargados

$\displaystyle V_1^\mathrm{ini}=V_2^\mathrm{ini}=V_3^\mathrm{ini}=0$ $\Rightarrow$ $Q_1^\mathrm{ini}=Q_2^\mathrm{ini}=Q_3^\mathrm{ini}=0$

se conecta el conductor “3” a un valor de potencial $\displaystyle V_0$ manteniendo los discos “1” y “2” a tierra. Se alcanza un estado final de equilibrio electrostático en que las cargas eléctricas en cada conductor son desconocidas a priori, sin embargo, siguiendo el mismo razonamiento que en el apartado anterior podemos inferior que los discos deben almacenar idénticas cantidades de carga:

$\displaystyle V_1^\mathrm{fin}=V_2^\mathrm{fin}=0\mathrm{;}\quad V_3^\mathrm{fin}=V_0$ $\Rightarrow$ $Q_1^\mathrm{fin}=Q_2^\mathrm{fin}=q_0\mathrm{;}\quad Q_3^\mathrm{fin}=q_3$

Teniendo en cuenta la expresión general de la energía electrostática almacenada por un sistema de conductores, se obtiene,

$U_e=\frac{1}{2}\big( Q_1V_1+Q_2V_2+Q_3V_3\big)$ $\Rightarrow$ No se pudo entender (error de sintaxis): \left\{\begin{array}{l}U_e^\mathrm{ini}=0\\ \\ \displaystyle U_e^\mathrm{fin}=\frac{1}{2}q_3V_0

Por tanto, podemos utilizar el valor del incremento de la energía potencial para determinar la cantidad de carga eléctrica total almancenada en la corteza esférica conductora en el estado final:

$W_0=U_e^\mathrm{fin}-U_e^\mathrm{ini}=\frac{1}{2}q_3V_0$ $\Rightarrow$ $Q_3^\mathrm{fin}=q_3=\frac{2W_0}{V_0}$

Discos conductores en el interior de corteza esférica

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