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Discos conductores en el interior de corteza esférica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Circuito equivalente y capacidades con expresión analítica)
(Circuito equivalente y capacidades con expresión analítica)
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==Solución==
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===Circuito equivalente y capacidades con expresión analítica===
===Circuito equivalente y capacidades con expresión analítica===
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[[Archivo:P2_final_ju_10_11_i.gif|right]]Consideramos la situación general del sistema de tres conductores bajo estudio: éstos almacenan sendas cantidades de carga eléctrica, <math>\displaystyle Q_1\mathrm{,}\, Q_2\, \mathrm{y}\, Q_3</math>, hallándose a valores de potencial <math>\displaystyle V_1\mathrm{,}\, V_2\, \mathrm{y}\, V_3</math>, respectivamente. Como sabemos, estas cantidades de carga eléctrica y potencial no pueden ser cualesquiera, sino que deben estar relacionadas por la expresión matricial
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[[Archivo:P2_final_ju_10_11_i.gif|right]]Consideramos la situación general del sistema de tres conductores bajo estudio: éstos almacenan sendas cantidades de carga eléctrica, <math>\displaystyle Q_1\mathrm{,}\, Q_2\, \mathrm{y}\, Q_3</math>, hallándose a los respectivos valores de potencial <math>\displaystyle V_1\mathrm{,}\, V_2\, \mathrm{y}\, V_3</math>, respecto del infinito (conductor de referencia).
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Como sabemos, estas cantidades de carga eléctrica y potencial no pueden ser cualesquiera, sino que deben estar relacionadas por la expresión matricial,
<center><math>\begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix}</math></center>
<center><math>\begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix}</math></center>
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donde <math>\displaystyle C_{ij}</math> son los coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema, los cuáles sólo dependen de su geometría.
[[Categoría:Problemas de electrostática en presencia de conductores]]
[[Categoría:Problemas de electrostática en presencia de conductores]]

Revisión de 11:58 3 jul 2011

1 Enunciado

La figura representa la sección transversal de un sistema de tres conductores consistente en una corteza esférica de radio \displaystyle a (conductor 3), en cuyo interior hay dos discos paralelos de radio \displaystyle a/2 (conductores 1 y 2), separados por una distancia \displaystyle a/16 y simétricamente dispuestos respecto del plano ecuatorial del conductor esférico. Inicialmente todo el sistema está conectado a tierra. En un determinado instante, sólo la corteza se conecta a una fuente de potencial \displaystyle V_0 y se comprueba que la energía electrostática del sistema ha sufrido una variación ΔUe = W0.
  1. Diseñe el circuito equivalente e indique los valores de las capacidades que puedan ser conocidos analíticamente. ¿Qué capacidades no poseen expresión analítica sencilla?
  2. A partir de la energía \displaystyle W_0, determine el valor de las cargas eléctricas totales en los tres conductores y obtenga las capacidades desconocidas.
  3. Obtenga la matriz de coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema de conductores.
  4. Calcule la nueva configuración de cargas y potenciales y la energía del sistema cuando se aíslan los discos 1 y 2, y el conductor 3 se vuelve a conectar a tierra.

2 Solución

2.1 Circuito equivalente y capacidades con expresión analítica

Consideramos la situación general del sistema de tres conductores bajo estudio: éstos almacenan sendas cantidades de carga eléctrica, \displaystyle Q_1\mathrm{,}\, Q_2\, \mathrm{y}\, Q_3, hallándose a los respectivos valores de potencial \displaystyle V_1\mathrm{,}\, V_2\, \mathrm{y}\, V_3, respecto del infinito (conductor de referencia).

Como sabemos, estas cantidades de carga eléctrica y potencial no pueden ser cualesquiera, sino que deben estar relacionadas por la expresión matricial,

\begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33}\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} Q_1 \\ Q_2 \\ Q_3 \end{pmatrix}

donde \displaystyle C_{ij} son los coeficientes de capacidad e inducción eléctrica del sistema, los cuáles sólo dependen de su geometría.

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