http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Disco_subiendo_escal%C3%B3n_(Ene._2019_G.I.C.)&feed=atom&action=historyDisco subiendo escalón (Ene. 2019 G.I.C.) - Historial de revisiones2024-03-29T01:08:23ZHistorial de revisiones de esta página en la wikiMediaWiki 1.40.0http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Disco_subiendo_escal%C3%B3n_(Ene._2019_G.I.C.)&diff=1408&oldid=prevPedro: Página creada con «= Enunciado = right Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> se apoya en un escalón de altura <math>R/2</math> como se indica en la figura. El contacto en el punto <math>A</math> es liso mientras que en el punto <math>B</math> es rugoso con coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. Un fuerza <math>\vec{F}=-F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>, se aplica en el punto <math>C</math>. La gr…»2023-11-03T08:56:39Z<p>Página creada con «= Enunciado = <a href="/wiki/index.php/Archivo:F1GIC-disco-escalon-enunicado.png" title="Archivo:F1GIC-disco-escalon-enunicado.png">right</a> Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> se apoya en un escalón de altura <math>R/2</math> como se indica en la figura. El contacto en el punto <math>A</math> es liso mientras que en el punto <math>B</math> es rugoso con coeficiente de rozamiento estático <math>\mu</math>. Un fuerza <math>\vec{F}=-F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>, se aplica en el punto <math>C</math>. La gr…»</p>
<p><b>Página nueva</b></p><div>= Enunciado =<br />
[[File:F1GIC-disco-escalon-enunicado.png|right]]<br />
<br />
Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> se apoya en un escalón de altura <math>R/2</math> como se indica en la figura.<br />
El contacto en el punto <math>A</math> es liso mientras que en el punto <math>B</math> es rugoso con coeficiente de<br />
rozamiento estático <math>\mu</math>. Un fuerza <math>\vec{F}=-F_0\,\vec{\imath}</math>, con <math>F_0>0</math>, se aplica en el<br />
punto <math>C</math>. La gravedad actúa como se indica en la figura.<br />
<br />
#Determina el valor del ángulo <math>\theta</math> mostrado en la figura, así como un vector unitario con la dirección y sentido del vector <math>\overrightarrow{AG}</math>.<br />
#Dibuja el diagrama de fuerzas que actúan sobre el disco.<br />
#Encuentra la expresión de las fuerzas que actúan sobre el disco en condición de equilibrio estático. ¿Para que valor de <math>h</math> cambia el sentido de la fuerza de rozamiento?<br />
#Suponiendo que <math>h=3R/2</math>, determina el valor mínimo de <math>F_0</math> para que el disco suba el escalón.<br />
<br />
= Solución =<br />
<br />
== Ángulo y vector unitario ==<br />
[[File:F1GIC-disco-escalon-triangulo.png|right]]<br />
Observando la figura vemos que, a partir del triángulo resaltado en azul tenemos<br />
<center><math><br />
\mathrm{sen}\,\theta = \dfrac{R/2}{R} = \dfrac{1}{2}<br />
\Longrightarrow<br />
\theta = \dfrac{\pi}{6} = 30^{\circ}.<br />
</math></center><br />
El vector <math>\overrightarrow{AG}</math> es<br />
<center><math><br />
\overrightarrow{AG} = R\cos\theta\,\vec{\imath} + R\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}<br />
=<br />
R\,\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{2}\,\vec{\jmath}\right).<br />
</math></center><br />
El módulo de este vector es <math>R</math>, como se observa en la figura. Por tanto, el vector unitario pedido es<br />
<center><math><br />
\vec{n}_{AG} = \dfrac{\overrightarrow{AG}}{R} <br />
=<br />
\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{2}\,\vec{\jmath}<br />
</math></center><br />
<br />
== Diagrama de fuerzas ==<br />
[[File:F1GIC-disco-escalon-fuerzas.png|right]]<br />
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el sólido. Como fuerzas activas tenemos el peso y <math>\vec{F}</math>. Hay una fuerza vincular en <math>A</math> dirigida hacia el centro del disco, pues en este punto la dirección normal la da la superficie del disco, no la esquina. En el punto <math>B</math> hay una fuerza vincular normal, para que el disco no atraviese el suelo, y una fuerza de rozamiento paralela al suelo. Conocemos a priori el sentido de todas las fuerzas salvo la de rozamiento. Expresamos las fuerzas en el sistema de ejes de la figura<br />
<center><math><br />
\begin{array}{l}<br />
\vec{F} = -F_0\,\vec{\imath},\\<br />
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath},\\<br />
\vec{A} = A\,\vec{n}_{AG} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}A\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{2}A\,\vec{\jmath},\\<br />
\vec{B} = B\,\vec{\jmath},\\<br />
\vec{B}_R = B_R\,\vec{\imath}.<br />
\end{array}<br />
</math></center><br />
<br />
== Equilibrio estático ==<br />
Para que un sólido rígido esté en equilibrio estático debe ocurrir que la fuerza neta sobre él sea nula y que el momento neto respecto de cualquier punto sea nulo.<br />
<br />
De la primera condición obtenemos<br />
<center><math><br />
\vec{F} + \vec{P} + \vec{A} + \vec{B} + \vec{B}_R = \vec{0}<br />
\Longrightarrow<br />
\left\{<br />
\begin{array}{lclr}<br />
X) & \to & -F_0 + \dfrac{\sqrt{3}}{2}A + B_R = 0, & (1)\\<br />
&&&\\<br />
Y) & \to & -mg + \dfrac{1}{2}A + B = 0.& (2)<br />
\end{array}<br />
\right.<br />
</math></center><br />
Para calcular el momento de las fuerzas elegimos el punto <math>G</math>. De este modo las fuerzas <math>A</math>, <math>B</math> y <math>P</math> no crean momento, pues el punto <math>G</math> pertenece a las rectas soporte de las tres fuerzas. Tenemos<br />
<center><math><br />
\vec{M}_G = \overrightarrow{GC}\times\vec{F} + \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R= \vec{0}.<br />
</math></center><br />
Para calcular el momento creado por la fuerza <math>F</math> podemos hacerlo de dos formas. No conocemos la coordenada de <math>C</math> sobre el eje <math>X</math>, pero no es necesaria para calcular el momento. Podemos llamarla <math>x_C</math>. Tenemos entonces<br />
<center><math><br />
\overrightarrow{GC}\times\vec{F} =<br />
(x_C\,\vec{\imath} + (h-R)\,\vec{\jmath})\times(-F_0\,\vec{\imath})<br />
=<br />
F_0(h-R)\,\vec{k}.<br />
</math></center><br />
Otra forma de hacerlo es darse cuenta de que las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido son vectores deslizantes. Entonces podemos trasladar <math>\vec{F}</math> sobre su recta soporte hasta el punto <math>E</math>. Al calcular así el momento obtenemos el resultado anterior.<br />
<br />
Para la fuerza de rozamiento tenemos<br />
<center><math><br />
\overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R = (-R\,\vec{\jmath})\times(B_R\,\vec{\imath})<br />
=<br />
RB_R\,\vec{k}.<br />
</math></center><br />
Como el momento neto debe ser nulo obtenemos la ecuación<br />
<center><math><br />
RB_r + F_0(h-R)=0. \qquad (3)<br />
</math></center><br />
Las incógnitas son <math>\{A,\, B,\, B_R\}</math>. Tenemos tres ecuaciones, por lo que el problema está bien planteado. Resolviéndolas obtenemos<br />
<center><math><br />
\begin{array}{l}<br />
\vec{A} = \dfrac{F_0 h}{\sqrt{3}R}\,(\sqrt{3}\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}),\\<br />
\\<br />
\vec{B} = \left(mg - \dfrac{F_0h}{\sqrt{3}R}\right)\,\vec{\jmath},\\<br />
\\<br />
\vec{B}_R = F_0\,\left(1-\dfrac{h}{R}\right)\,\vec{\imath}.<br />
\end{array}<br />
</math></center><br />
De la expresión de la fuerza de rozamiento vemos que si <math>h>R</math> apunta hacia la izquierda, mientras que si <math>h<R</math> apunta hacia la derecha. Cuando <math>h=R</math> es nula.<br />
<br />
== Valor de <math>F_0</math> para que el disco suba el escalón ==<br />
Justo cuando el disco comienza a subir el escalón tenmos <math>\vec{B}=\vec{0}</math>, pues entonces esta fuerza vincular ya no es necesaria. Si imponemos <math>h=3R/2</math> tenemos<br />
<center><math><br />
\vec{B} = \left(mg-\dfrac{\sqrt{3}}{2}F_0\right)\,\vec{\jmath}<br />
</math></center><br />
Entonces, para que el disco suba el escalón tenemos<br />
<center><math><br />
F_0 \geq \dfrac{2}{\sqrt{3}}mg.<br />
</math></center><br />
<br />
<br />
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[[Categoría: Problemas de Estática del Sólido Rígido]]<br />
[[Categoría:Problemas de examen]]<br />
[[Categoría:Problemas de examen de F1 GIC]]</div>Pedro