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Un disco de radio y masa (sólido "2") rueda sin deslizar sobre
una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio . En el centro del
disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud . El otro
extremo de la barra se articula en un punto fijo . La barra está conectada
a su vez a un resorte de torsión en el punto . Este resorte ejerce
un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él
se puede expresar como , siendo una constante.
Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre y ?.
Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
Estando el disco en reposo y con , se aplica al centro del disco una percusión . Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje .
Solución
Reducciones cinemáticas
Movimiento {01}
Tenemos
Calculamos también la velocidad del centro de masas
Hemos usado que
Movimiento {20}
Del dibujo vemos
Movimiento {21}
Usando la composición {21} = {20} + {01} tenemos
La relación entre las derivadas de los ángulos se obtiene imponiendo que, al ser una rodadura sin deslizamiento, se cumple
Tenemos
Energía cinética y potencial del disco
Al ser un movimiento plano la energía cinética es
El momento de inercia del disco es .
Tenemos energía potencial gravitatoria y elástica. Para la gravitatoria elegimos como referencia la línea , por tanto
El enunciado nos da la energía potencial elástica del muelle de torsión
Entonces la energía potencial total es
La energía mecánica es
Lagrangiana y ecuación de movimiento
La función de Lagrange es
La ecuación de movimiento es
Haciendo las derivadas obtenemos
Para ángulos pequeños podemos sustituir el seno por el primer término del desarrollo de Taylor
y podemos escribir la ecuación diferencial como
Esta es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con frecuencia angular y período
Percusión
La ecuación de Lagrange percusiva es
El momento generalizado es
y por tanto
Para la percusión generalizada tenemos
Ahora bien, en el instante inicial , los ejes y coinciden y se tiene . Por tanto
Por tanto la velocidad generalizada después de la percusión es
Durante la percusión . Así pues,
la energía mecánica justo después de la percusión es
Para que el disco llegue arriba ( con velocidad del centro de masas la energía mecánica final debe ser