Ver el código de «Disco rodando en cavidad con muelle de torsión MR Dic 2016/17»

= Enunciado =
[[Imagen:MR_disco_cavidad_muelle_torsion_enunciado.png|right]]
Un disco de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre
una superficie circular cóncava (sólido "1") de radio <math>3R</math>. En el centro del 
disco se articula una barra (sólido "0") de masa despreciable y longitud <math>2R</math>. El otro
extremo de la barra se articula en un punto fijo <math>O</math>. La barra está conectada
a su vez a un resorte de torsión en el punto <math>O</math>. Este resorte ejerce 
un momento sobre la barra, perpendicular al plano de la figura, de modo que la energía potencial asociada a él 
se puede expresar como <math>U_k = k \phi^2</math>, siendo <math>k</math> una constante.
#Encuentra la reducción cinemática de los movimientos {01}, {20} y {21}. ¿Cuál es la relación entre <math>\dot{\phi}</math> y <math>\dot{\psi}</math>?. 
#Calcula la energía cinética del disco y su energía potencial.
#Escribe la Lagrangiana del sistema y la ecuación diferencial que rige el movimento. Si el ángulo <math>\phi</math> es pequeño, demuestra que el movimiento es armónico simple y encuentra el período de oscilación.
#Estando el disco en reposo y con <math>\phi=0</math>, se aplica al centro del disco una percusión <math>\hat{\vec{F}} = \hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0</math>.  Encuentra la velocidad del centro del disco después de la percusión así como el valor mínimo de esta para que el centro del disco llegue hasta el eje <math>OY_1</math>.

= Solución =

== Reducciones cinemáticas ==
=== Movimiento {01} ===
Tenemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_1,
\qquad\qquad
\vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0}.
</math>
</center>
Calculamos también la velocidad del centro de masas
<center>
<math>
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OG}= 
2R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_0.
</math>
</center>
Hemos usado que
<center>
<math>
\overrightarrow{OG} = 2R\,\vec{\imath}_0.
</math>
</center>
=== Movimiento {20} ===
Del dibujo vemos
<center>
<math>
\vec{\omega}_{20} = -\dot{\psi}\,\vec{k}_1,
\qquad\qquad
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.
</math>
</center>
=== Movimiento {21} ===
Usando la composición {21} = {20} + {01} tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = (\dot{\phi}-\dot{\psi})\,\vec{k}_1,
\\
\\
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01} = 2R\dot{\phi}\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
La relación entre las derivadas de los ángulos se obtiene imponiendo que, al ser una rodadura sin deslizamiento, se cumple 
<center>
<math>
\vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{0}.
</math>
</center>
Tenemos
<center>
<math>
\vec{v}^{\,D}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{GD} 
=
(2R\dot{\phi} +(\dot{\phi}-\dot{\psi})R)\,\vec{\jmath}_0 = \vec{0}
\Longrightarrow
\dot{\psi} = 3\dot{\phi}.
</math>
</center>

== Energía cinética y potencial del disco ==
Al ser un movimiento plano la energía cinética es
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I|\vec{\omega}_{21}|^2 =
3mR^2\dot{\phi}^2.
</math>
</center>
El momento de inercia del disco es <math>I=mR^2/2</math>.

Tenemos energía potencial gravitatoria y elástica. Para la gravitatoria elegimos como referencia la línea <math>y_1=0</math>, por tanto
<center>
<math>
U_g = -2mgR\cos\phi.
</math>
</center>
El enunciado nos da la energía potencial elástica del muelle de torsión
<center>
<math>
U_k = k\phi^2
</math>
</center>
Entonces la energía potencial total es
<center>
<math>
U = U_g + U_k = k\phi^2 - 2mgR\cos\phi.
</math>
</center>
La energía mecánica es
<center>
<math>
E = T + U = 3mR^2\dot{\phi}^2 + k\phi^2 - 2mgR\cos\phi.
</math>
</center>

== Lagrangiana y ecuación de movimiento ==
La función de Lagrange es
<center>
<math>
L = T - U =  3mR^2\dot{\phi}^2 - k\phi^2 + 2mgR\cos\phi.
</math>
</center>
La ecuación de movimiento es
<center>
<math>
\dfrac{\mathrm{d}\,}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial\phi} = 0
</math>
</center>
Haciendo las derivadas obtenemos
<center>
<math>
3mR^2\ddot{\phi} + mgR\mathrm{sen}\,\phi + k\phi = 0.
</math>
</center>
Para ángulos pequeños podemos sustituir el seno por el primer término del desarrollo de Taylor
<center>
<math>
\mathrm{sen}\,\phi = \phi + O(\phi^3),
</math>
</center>
y podemos escribir la ecuación diferencial como
<center>
<math>
\ddot{\phi} = - \dfrac{mgR+k}{3mR^2}\,\phi.
</math>
</center>
Esta es la ecuación de movimiento de un oscilador armónico con frecuencia angular <math>\omega = \sqrt{(mgR+k)/3mR^2}</math> y período
<center>
<math>
T_{\omega} = \dfrac{2\pi}{\omega} = 
2\pi\sqrt{\dfrac{3mR^2}{mgR+k}}.
</math>
</center>

== Percusión ==
La ecuación de Lagrange percusiva es
<center>
<math>
\Delta p_{\phi} = \hat{Q}_{\phi}
</math>
</center>
El momento generalizado es
<center>
<math>
p_{\phi} = \dfrac{\partial L}{\partial\dot{\phi}} = 6mR^2\dot{\phi}
</math>
</center>
y por tanto
<center>
<math>
\Delta p_{\phi} = 6mR^2(\phi(0^+) -\phi(0^-)) = 6mR^2\dot{\phi}(0^+).
</math>
</center>
Para la percusión generalizada tenemos
<center>
<math>
\hat{Q}_{\phi} = \hat{\vec{F}}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,G}_{21}}{\partial\dot{\phi}}
=
\left(\hat{F}_0\,\vec{\jmath}_0\right)\cdot\left(2R\,\vec{\jmath}_1\right) = 
2\hat{F}_0R\,\vec{\jmath}_0\cdot\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Ahora bien, en el instante inicial <math>\phi(0)=0</math>, los ejes <math>OY_1</math> y <math>OY_0</math> coinciden y se tiene <math>\vec{\jmath}_1(0) = \vec{\jmath}_0(0)</math>. Por tanto
<center>
<math>
\hat{Q}_{\phi} =
2\hat{F}_0R.
</math>
</center>
Por tanto la velocidad generalizada después de la percusión es 
<center>
<math>
\dot{\phi}(0^+) = \dfrac{\hat{F}_0}{3mR}.
</math>
</center>
Durante la percusión <math>\phi=0</math>. Así pues,
la energía mecánica justo después de la percusión es
<center>
<math>
E(0^+) = \dfrac{\hat{F}^2_0}{3m} - 2mgR
</math>
</center>
Para que el disco llegue arriba (<math>\phi=\pi/2)</math> con velocidad del centro de masas la energía mecánica final debe ser
<center>
<math>
E = k\dfrac{\pi^2}{4}.
</math>
</center>
Por tanto la condición es
<center>
<math>
\hat{F}_0 \geq \sqrt{3m\,\left(2mgR + \dfrac{\pi^2}{4}k\right)}.
</math>
</center>

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