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Enunciado

Un disco homógeneo de masa y radio puede girar en torno al punto de su borde. El extremo superior del disco está unido al punto con un resorte ideal de longitud natural nula y constante elástica . En el instante inicial se encuentra en posición vertical, de modo que el punto del disco coincide con el punto donde está anclado el resorte. En empieza a girar hacia la derecha, de modo que su velocidad angular inicial es 0.

  1. Sabiendo que el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a su plano que pasa por su centro es , determina el momento de inercia respecto a un eje perpendicular a su plano que pasa por el punto .
  2. Calcula la velocidad del centro del disco en el instante en el que está sobre el eje .

Solución

Momento de inercia

El teorema de los ejes paralelos (o de Steiner) dice que, dado el momento de inercia respecto a un eje que pase por el centro de masas, , el momento de inercia respecto a otro eje paralelo a él, separado una distancia del primero es

En este caso tenemos . El eje pasa por , por lo que la distancia entre los dos ejes es. Por tanto

Velocidad del centro

Lo resolvemos usando la conservación de energía mecánica. Las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre el disco son el peso y el muelle. La fuerza de reacción vincular en el punto no realiza trabajo. Entonces la energía mecánica se conserva. Tomamos como origen de energía potencial gravitatoria el eje . En el instante inicial, cuando el punto del disco coincide con el punto , la energía cinética es cero y el muelle está totalmente contraído (tiene longitud natural nula). Entonces la energía mecánica es igual a la energía potencial gravitatoria

Es la posición del centro de masas del disco la que determina la energía potencial gravitatoria.

Cuando el centro del disco está sobre el eje , la energía potencial gravitatoria es nula. El disco gira con una velocidad angular , por lo que su energía cinética de rotación es

La energía potencial elástica del muelle es

La energía mecánica en este instante es

Igualando con la expresión inicial de la energía mecánica tenemos

Despejando la velocidad de rotación, y teniendo en cuenta el valor de del apartado anterior, tenemos

La velocidad angular y la velocidad del punto se relacionan por

Por tanto, la velocidad de es