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Disco empujando una placa (Ene. 2019)

De Laplace

Revisión a fecha de 16:27 6 feb 2019; Pedro (Discusión | contribuciones)
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1 Enunciado

Un disco homogéneo de radio R y masa m (sólido "2") rueda sin deslizar sobre el eje fijo OX1. El disco empuja una placa homogénea cuadrada (sólido "0") de masa m y lados 2h. La placa desliza sobre el mismo eje fijo. El contacto en el punto B es liso. Sobre el disco actúa un par de fuerzas \vec{\tau} =
-\tau_0t/T\,\vec{k}, siendo τ0 y T constantes con dimensiones de momento de fuerza y tiempo, respectivamente. En el instante inicial el centro del disco estaba sobre el eje OY1. El disco y la placa mantienen siempre el contacto. El contacto entre la placa y el suelo es liso. Se cumple R > h.

  1. Escribe la reducción cinemática de los movimientos {21} y {01}.
  2. Dibuja el diagrama de fuerzas y pares que actúan sobre cada sólido.
  3. Aplicando los teoremas fundamentales de la Dinámica Vectorial, encuentra las aceleraciones de los centros de masas de los dos sólidos.
  4. Encuentra el valor de todas las fuerzas que actúan sobre los sólidos. ¿En que instante de tiempo la base de la placa empieza a separarse del suelo?

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas

Los dos sólido hacen un movimiento plano. La placa realiza una traslación, por lo que \vec{\omega}_{01} = \vec{0}. Sólo conocemos a priori la dirección de la velocidad de traslación, por lo que la llamamos \vec{v}_{01} = v\,\vec{\imath}.

El disco realiza una rodadura sin deslizamiento. Observando la figura podemos deducir lo siguiente


\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, 
\qquad
\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{0},
\qquad
\vec{v}^{\,G_2}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1.

Usando el Teorema de Chasles tenemos


\vec{v}^{\,G_2}_{21}  = \vec{v}^{\,A}_{21}  + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}_2
=
\vec{0} + (-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1) = 
R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.

Comparando obtenemos la condición del vinculo interligado impuesto por la rodadura sin deslizamiento


\dot{\theta} = \dot{x}/R
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{21} = -\dfrac{\dot{x}}{R}\,\vec{k}.

Hay un vínculo prohibitivo entre los dos sólido en el punto B. La velocidad relativa entre ellos debe ser paralela la la placa, para que los sólidos no se interpenetren. Es decir


\vec{v}^{\,B}_{20} \parallel \vec{\jmath}_1.

Aplicando las leyes de composición


\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,B}_{20} & = \vec{v}^{\,B}_{21} - \vec{v}^{\,B}_{01} = (\dot{x}-v)\,\vec{\imath}_1 - \dot{x}\,\vec{\jmath}_1.\\
& \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,G_2}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{G_2B} = -\dot{x}\,\vec{\jmath}_1,\\
&  \vec{v}^{\,B}_{01} = v\,\vec{\imath}_1.
\end{array}

La componente en \vec{\imath}_1 de \vec{v}^{\,B}_{20} debe ser nula, es decir


v = \dot{x}.

La reducciones cinemáticas son


\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,G_2}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1, & \vec{\omega}_{21} = -\dfrac{\dot{x}}{R}\,\vec{k},\\
&\\
\vec{v}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1, & \vec{\omega}_{01} = \vec{0}.
\end{array}

El valor de \vec{v}_{01} podía haberse obtenido directamente de la figura, observando que el centro del disco está siempre en la misma posición relativa a los puntos de la placa, por lo que sus velocidades absolutas son iguales.

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