Disco con barra articulada, Noviembre 2015 (MR G.I.C.)

Enunciado

El disco de la figura (sólido "0"), de masa $m$ y radio $R$, rueda sin deslizar sobre el eje $OX_{1}$. Una barra (sólido "2"), de masa $m$ y longitud $R$, se encuentra articulada en el punto $A$ de la circunferencia del disco. El otro extremo, $B$ se conecta a un deslizador que se mueve sobre una barra paralela al eje $OX_{1}$. En el instante inicial los puntos $G$ y $A$ se encontraban sobre el eje $O_{1}Y_{1}$ (con el punto $A$ por encima del $G$).

1. Calcula la velocidad absoluta del punto $A$.
2. Determina la velocidad de rotación ${\vec {\omega }}_{20}$.
3. En esta pregunta y las siguientes suponemos que el punto $B$ se mueve con velocidad ${\vec {v}}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$. Calcula el valor de ${\dot {\theta }}$.
4. Calcula el valor de ${\vec {\alpha }}_{21}$.
5. Determina el valor de ${\vec {v}}_{21}^{\,O_{1}}$ en el instante incial.
6. Calcula el momento cinético del disco respecto al punto de contacto con el suelo en el instante inicial.

Solución

Velocidad absoluta del punto $A$

Se trata de un movimiento plano. En este caso podemos encontrar una expresión que nos da el vector de posición del punto $A$ válida para todo instante de tiempo. Tenemos

${\overrightarrow {O_{1}A}}=(x+R\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+R(1+\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

La velocidad absoluta del punto $A$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,A}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {O_{1}A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=({\dot {x}}-R{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+R{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Existe un vínculo interligado entre $x$ y $\theta$. Para explicitarlo usamos la reducción cinemática del movimiento {01}.

${\begin{array}{l}{\vec {\omega }}_{01}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}\\\\\left.{\begin{array}{l}{\vec {v}}_{01}^{\,G}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}\\\\{\vec {v}}_{01}^{\,C}={\vec {0}}\end{array}}\right|{\vec {v}}_{01}^{\,G}={\vec {v}}_{01}^{\,C}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {CG}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1})\times (R\,{\vec {\jmath }}_{1})=-R{\dot {\theta }}\,{\vec {\imath }}_{1}={\dot {x}}\,{\vec {\imath }}_{1}\end{array}}$

Por tanto tenemos ${\dot {x}}=-R{\dot {\theta }}$ y la velocidad pedida es

${\vec {v}}_{21}^{\,A}=-R{\dot {\theta }}(1+\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+R{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}$

Velocidad de rotación del punto $B$

La forma mas fácil de calcular este valor es darse cuenta, observando la figura, de que la barra (y por tanto un uje $X_{2}$ que coincida con ella) forma un ángulo $\theta$ con el eje $X_{1}$, pues el triángulo $GAB$ es isósceles. La rotación del movimiento {21} es

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}$

Usando las leyes de composición {21} = {20} + {01}

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\Longrightarrow {\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}=-2{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}$

Valor de ${\dot {\theta }}$

El vector absoluto de posición del punto $B$ es

${\overrightarrow {O_{1}B}}=(x+2R\cos \theta )\,{\vec {\imath }}_{1}+R\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

La velocidad absoluta del punto $B$ es

${\vec {v}}_{21}^{\,B}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\overrightarrow {O_{1}B}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=({\dot {x}}-2R{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}=-R{\dot {\theta }}\,(1+2\,\mathrm {sen} \,\theta )\,{\vec {\imath }}_{1}=v_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Por tanto

${\dot {\theta }}=-{\dfrac {v_{0}}{R(1+2\,\mathrm {sen} \,\theta )}}.$

Aceleración angular ${\vec {\alpha }}_{21}$

Hemos visto antes que

${\vec {\omega }}_{21}=-{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}={\dfrac {v_{0}}{R(1+2\,\mathrm {sen} \,\theta )}}\,{\vec {k}}_{1}$

Derivamos respecto del tiempo

${\vec {\alpha }}_{21}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\omega }}_{21}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-{\dfrac {2v_{0}\cos \theta }{R(1+2\,\mathrm {sen} \,\theta )^{2}}}\,{\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1}={\dfrac {2v_{0}^{2}\cos \theta }{R^{2}(1+2\,\mathrm {sen} \,\theta )^{3}}}\,{\vec {k}}_{1}$

Velocidad ${\vec {v}}_{21}^{\,O_{1}}$ en el instante inicial

En el instante inicial tenemos $\theta =\pi /2$, pues el punto $A$ esta en el eje$O_{1}Y1$ encima del punto $G$. Entonces

${\begin{array}{l}{\dot {\theta }}=-{\dfrac {v_{0}}{3R}}\\\\{\vec {\omega }}_{21}={\dfrac {v_{0}}{3R}}\,{\vec {k}}_{1}\\\\{\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dfrac {2v_{0}}{3R}}\,{\vec {\imath }}_{1}\\\\{\overrightarrow {AO_{1}}}=-2R\,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Usando el Teorema de Chasles para el movimiento {21} tenemos

${\vec {v}}_{21}^{\,O_{1}}={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AO_{1}}}={\dfrac {4v_{0}}{3R}}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Esta velocidad no es cero. En ese instante hay tres puntos distintos en el punto geométrico $O_{1}$, uno por cada sólido que consideramos. Sólo los puntos que pertenecen a los sólidos "0" y "1" tienen velocidad cero respecto al sólido "1".

Momento cinético ${\vec {L}}_{C}$ en el instante inicial

Al ser un movimiento plano, el eje $Z_{1}$ es eje principal de inercia en todos los puntos de los sólidos. Por tanto

${\vec {L}}_{C}=I_{C}\,{\vec {\omega }}_{01},$

donde $I_{C}$ es el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pase por $C$. Usando el teorema de Steiner o de los ejes paralelos, lo relacionamos con el momento de inercia respecto al centro de masas

$I_{C}=I_{G}+mR^{2}={\dfrac {1}{2}}mR^{2}+mR^{2}={\dfrac {3}{2}}mR^{2}.$

En el instante inicial

${\vec {\omega }}_{01}(t=0)={\dot {\theta }}(\theta =\pi /2)\,{\vec {k}}_{1}=-{\dfrac {v_{0}}{3R}}\,{\vec {k}}_{1},$

y por tanto

${\vec {L}}_{C}(t=0)=-{\dfrac {mv_{0}R}{2}}\,{\vec {k}}_{1}$