Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Disco con barra articulada, Noviembre 2015 (MR G.I.C.)

De Laplace

Revisión a fecha de 20:03 6 dic 2016; Pedro (Discusión | contribuciones)
(dif) ← Revisión anterior | Revisión actual (dif) | Revisión siguiente → (dif)

Contenido

1 Enunciado

El disco de la figura (sólido "0"), de masa m y radio R, rueda sin deslizar sobre el eje OX1. Una barra (sólido "2"), de masa m y longitud R, se encuentra articulada en el punto A de la circunferencia del disco. El otro extremo, B se conecta a un deslizador que se mueve sobre una barra paralela al eje OX1. En el instante inicial los puntos G y A se encontraban sobre el eje O1Y1 (con el punto A por encima del G).

  1. Calcula la velocidad absoluta del punto A.
  2. Determina la velocidad de rotación \vec{\omega}_{20}.
  3. En esta pregunta y las siguientes suponemos que el punto B se mueve con velocidad \vec{v}=v_0\,\vec{\imath}_1. Calcula el valor de \dot{\theta}.
  4. Calcula el valor de \vec{\alpha}_{21}.
  5. Determina el valor de \vec{v}^{\,O_1}_{21} en el instante incial.
  6. Calcula el momento cinético del disco respecto al punto de contacto con el suelo en el instante inicial.

2 Solución

2.1 Velocidad absoluta del punto A

Se trata de un movimiento plano. En este caso podemos encontrar una expresión que nos da el vector de posición del punto A válida para todo instante de tiempo. Tenemos


\overrightarrow{O_1A} = (x+R\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + R(1+\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1.

La velocidad absoluta del punto A es


\vec{v}^{\,A}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_1A}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
(\dot{x} - R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1

Existe un vínculo interligado entre x y θ. Para explicitarlo usamos la reducción cinemática del movimiento {01}.


\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}_1 \\
\\
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,G}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1\\
\\
\vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{0}
\end{array}\right|
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,C}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CG}
=(\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times(R\,\vec{\jmath}_1) = -R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1
=\dot{x}\,\vec{\imath}_1
\end{array}

Por tanto tenemos \dot{x} = -R\dot{\theta} y la velocidad pedida es


\vec{v}^{\,A}_{21} = -R\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 +R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1

2.2 Velocidad de rotación del punto B

La forma mas fácil de calcular este valor es darse cuenta, observando la figura, de que la barra (y por tanto un uje X2 que coincida con ella) forma un ángulo θ con el eje X1, pues el triángulo GAB es isósceles. La rotación del movimiento {21} es


\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1

Usando las leyes de composición {21} = {20} + {01}


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -2\dot\theta\,\vec{k}_1

2.3 Valor de \dot{\theta}

El vector absoluto de posición del punto B es


\overrightarrow{O_1B} = (x+2R\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1.

La velocidad absoluta del punto B es


\vec{v}^{\,B}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_1B}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
(\dot{x} - 2R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1
=
-R\dot{\theta}\,(1+ 2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 = v_0\,\vec{\imath}_1

Por tanto


\dot{\theta} = -\dfrac{v_0}{R(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)}.

2.4 Aceleración angular \vec{\alpha}_{21}

Hemos visto antes que


\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1 = \dfrac{v_0}{R(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)}\,\vec{k}_1

Derivamos respecto del tiempo


\vec{\alpha}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1
=
-\dfrac{2v_0\cos\theta}{R(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)^2}\,\dot{\theta}\,\vec{k}_1
=
\dfrac{2v_0^2\cos\theta}{R^2(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)^3}\,\vec{k}_1

2.5 Velocidad \vec{v}^{\,O_1}_{21} en el instante inicial

En el instante inicial tenemos θ = π / 2, pues el punto A esta en el ejeO1Y1 encima del punto G. Entonces


\begin{array}{l}
\dot{\theta} = -\dfrac{v_0}{3R}\\ \\
\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{3R}\,\vec{k}_1\\ \\
\vec{v}^{\,A}_{21} = \dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{\imath}_1\\ \\
\overrightarrow{AO_1} = -2R\,\vec{\jmath}_1
\end{array}

Usando el Teorema de Chasles para el movimiento {21} tenemos


\vec{v}^{\,O_1}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21} \times\overrightarrow{AO_1}
=
\dfrac{4v_0}{3R}\,\vec{\imath}_1

Esta velocidad no es cero. En ese instante hay tres puntos distintos en el punto geométrico O1, uno por cada sólido que consideramos. Sólo el punto que pertenece al sólido "1" tiene velocidad cero.

2.6 Momento cinético \vec{L}_C en el instante inicial

Al ser un movimiento plano, el eje Z1 es eje principal de inercia en todos los puntos de los sólidos. Por tanto


\vec{L}_C = I_C\,\vec{\omega}_{01},

donde IC es el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pase por C. Usando el teorema de Steiner o de los ejes paralelos, lo relacionamos con el momento de inercia respecto al centro de masas


I_C = I_G + mR^2 = \dfrac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \dfrac{3}{2}mR^2.

En el instante inicial


\vec{\omega}_{01}(t=0) = \dot{\theta}(\theta=\pi/2)\,\vec{k}_1 = -\dfrac{v_0}{3R}\,\vec{k}_1,

y por tanto


\vec{L}_C(t=0) = -\dfrac{mv_0R}{2}\,\vec{k}_1

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Aviso legal - Acerca de Laplace