Enunciado

El disco de la figura (sólido "0"), de masa y radio , rueda sin deslizar sobre el eje . Una barra (sólido "2"), de masa y longitud , se encuentra articulada en el punto de la circunferencia del disco. El otro extremo, se conecta a un deslizador que se mueve sobre una barra paralela al eje . En el instante inicial los puntos y se encontraban sobre el eje (con el punto por encima del ).

  1. Calcula la velocidad absoluta del punto .
  2. Determina la velocidad de rotación .
  3. En esta pregunta y las siguientes suponemos que el punto se mueve con velocidad . Calcula el valor de .
  4. Calcula el valor de .
  5. Determina el valor de en el instante incial.
  6. Calcula el momento cinético del disco respecto al punto de contacto con el suelo en el instante inicial.

Solución

Velocidad absoluta del punto

Se trata de un movimiento plano. En este caso podemos encontrar una expresión que nos da el vector de posición del punto válida para todo instante de tiempo. Tenemos

La velocidad absoluta del punto es

Existe un vínculo interligado entre y . Para explicitarlo usamos la reducción cinemática del movimiento {01}.

Por tanto tenemos y la velocidad pedida es

Velocidad de rotación del punto

La forma mas fácil de calcular este valor es darse cuenta, observando la figura, de que la barra (y por tanto un uje que coincida con ella) forma un ángulo con el eje , pues el triángulo es isósceles. La rotación del movimiento {21} es

Usando las leyes de composición {21} = {20} + {01}

Valor de

El vector absoluto de posición del punto es

La velocidad absoluta del punto es

Por tanto

Aceleración angular

Hemos visto antes que

Derivamos respecto del tiempo

Velocidad en el instante inicial

En el instante inicial tenemos , pues el punto esta en el eje encima del punto . Entonces

Usando el Teorema de Chasles para el movimiento {21} tenemos

Esta velocidad no es cero. En ese instante hay tres puntos distintos en el punto geométrico , uno por cada sólido que consideramos. Sólo los puntos que pertenecen a los sólidos "0" y "1" tienen velocidad cero respecto al sólido "1".

Momento cinético en el instante inicial

Al ser un movimiento plano, el eje es eje principal de inercia en todos los puntos de los sólidos. Por tanto

donde es el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pase por . Usando el teorema de Steiner o de los ejes paralelos, lo relacionamos con el momento de inercia respecto al centro de masas

En el instante inicial

y por tanto