Enunciado

Un aro de masa y radio (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa (eje fijo ). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa y longitud (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje y el raíl es . La gravedad actúa como se indica en la figura. Una fuerza actúa sobre el extremo de la barra.

  1. Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a .
  2. Demuestra que existen dos ligaduras de la forma . Encuentra los valores de los coeficientes .
  3. Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de y .
  4. Calcula la energía cinética total del sistema.
  5. Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
  6. Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.

Solución

Datos que se pueden deducir del enunciado

  1. Todos los movimientos son planos: Los vectores rotación tiene componente sólo en el eje .
  2. El aro rueda sin deslizar: .
  3. La barra está articulada en el cento del aro: .
  4. El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo : .
  5. El punto de la barra se mueve en un raíl vertical: .

Posiciones de los C.I.R.

De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R.

La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras:

  1. Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, es paralela al eje . Trazando por una perpendicular a , encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte.
  2. Como es , se tiene que es paralela a . Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos y encontramos en el punto de corte.

Ligaduras cinemáticas

Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas

Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro

La otra ligadura es que . Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos

Como la componente en de debe ser cero tenemos

Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado

Reducciones cinemáticas en los centros de masas

Debemos expresar las reducciones cinemáticas en función únicamente del grado de libertad . Ya tenemos la reducción pedida en el centro de masa del aro

Para la barra tenemos

Y la reducción en el centro de masas de la barra es

Energía cinética

La energía cinética total es la suma de la energía cinética de los dos sólidos. Para el aro tenemos

El término de rotación podemos escribirlo de esa forma al tratarse de un movimiento plano. El momento de inercia es

Entonces

Procedemos de forma similar para la barra

Esta expresión no se puede aplicar en el punto porque es un punto móvil. El momento de inercia es

La energía cinética de la barra es

Y la energía cinética total es

Diagrama de fuerzas

Las fuerzas que actúan sobre cada sólido son

Sólido "2"

El peso es una fuerza activa mientras que las otras son vinculares. La fuerza proviene del vínculo . Las fuerzas en garantizan que se cumpla el vínculo . Distinguimos entre la componente vertical y la horizontal porque está última es una fuerza de rozamiento, que se comporta de manera diferente pues tiene una magnitud máxima.

Sólido "0"

El peso y son fuerzas aplicadas. La fuerza en es vincular y se relaciona con por la Tercera Ley de Newton. La fuerza en tiene sólo una componente pues solo el movimiento horizontal de está restringido (prohibido en este caso)

Teoremas fundamentales

T.C.M.

Sólido "2"

Tenemos

La cantidad de movimiento es

Aunque no tenemos que hacer la derivada temporal del lado izquierdo (porque no lo pide el problema) si podemos escribirla así

No hacía falta escribir este término así para considerar correcta la solución. Obtenemos entonces dos ecuaciones

Sólido "0"

Tenemos

La cantidad de movimiento es

Podemos escribir la derivada temporal así

Obtenemos de nuevo dos ecuaciones

T.M.C.

Sólido 2

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo

Las otra fuerzas no crean momento respecto a . El momento cinético y su derivada temporal son

El producto vectorial es

La ecuación es

Recordemos que, aunque no se pide en el problema, se puede expresar en función de . Concretamente

Sólido 0

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo

El peso no crea momento respecto a . El momento cinético y su derivada temporal son

Los productos vectoriales son

La ecuación es

De nuevo, se puede expresar en función de