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Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '= Enunciado = right Un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa …')
Línea 7: Línea 7:
en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra.
en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra.
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>.
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>.
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#Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>.
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#Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>a\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>.
#Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>.
#Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>.
#Calcula la energía cinética total del sistema.
#Calcula la energía cinética total del sistema.
Línea 20: Línea 20:
# El aro rueda sin deslizar: <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C</math>.
# El aro rueda sin deslizar: <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C</math>.
# La barra está articulada en el cento del aro: <math>\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A</math>.
# La barra está articulada en el cento del aro: <math>\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A</math>.
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# El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo <math>OX_1</math>: <math>\vec{v}^{\,A}_{21}\parallel \vec{\imath}_1</math>.
#El punto <math>B</math> de la barra se mueve en un raíl vertical: <math>\vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1</math>.
#El punto <math>B</math> de la barra se mueve en un raíl vertical: <math>\vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1</math>.
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== Posiciones de los C.I.R. ==
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De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R.
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I_{21}\equiv C, \qquad I_{20} \equiv A.
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La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras:
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#Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> es paralela al eje <math>OY_1</math>. Trazando por <math>B</math> una perpendicular a <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math>, encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte.
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#Como <math>A</math> es <math>I_{20}</math>, se tiene <math>\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21}</math> que es paralela a <math>OX_1</math>. Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos <math>A</math> y <math>B</math> encontramos <math>I_{01}</math> en el punto de corte.
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== Ligaduras cinemáticas ==
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Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas <math>\{s, \theta, \phi\}</math>
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\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1,\\
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\vec{\omega}_{01} =-\dot{\phi}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1.
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Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro
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\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0},\\
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\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
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= (\dot{s} + R\dot{\theta})\,\vec{k},
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\dot{\theta} = -\dot{s}/R.
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La otra ligadura es que <math>\vec{c}^{\,B}_{01}\parallel\vec{\jmath}_1</math>. Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos
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\vec{v}^{\,B}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} =
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(\dot{s} -2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{\imath}_1 - 2R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
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& \overrightarrow{AB} = 2R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - 2R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
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Como la componente en <math>\vec{\imath}_1</math> de <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> debe ser cero tenemos
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\dot{s} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi.
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Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado
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\dot{s} - 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0,\\
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\dot{\theta} + 2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi = 0.
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a=1, \quad b=-2R, \quad c=1, \quad d = 2.
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Revisión de 21:04 17 feb 2021

Contenido

1 Enunciado

Un aro de masa m y radio R (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa (eje fijo OX1). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa m y longitud 2R (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje OY1 y el raíl es 4R. La gravedad actúa como se indica en la figura. Una fuerza \vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1 actúa sobre el extremo B de la barra.

  1. Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a O.
  2. Demuestra que existen dos ligaduras de la forma a\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.. Encuentra los valores de los coeficientes a,b,c,d.
  3. Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de φ y \dot{\phi}.
  4. Calcula la energía cinética total del sistema.
  5. Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
  6. Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.

2 Solución

2.1 Datos que se pueden deducir del enunciado

  1. Todos los movimientos son planos: Los vectores rotación tiene componente sólo en el eje Z.
  2. El aro rueda sin deslizar: \vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C.
  3. La barra está articulada en el cento del aro: \vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A.
  4. El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo OX1: \vec{v}^{\,A}_{21}\parallel \vec{\imath}_1.
  5. El punto B de la barra se mueve en un raíl vertical: \vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1.

2.2 Posiciones de los C.I.R.

De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R.


I_{21}\equiv C, \qquad I_{20} \equiv A.

La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras:

  1. Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, \vec{v}^{\,B}_{01} es paralela al eje OY1. Trazando por B una perpendicular a \vec{v}^{\,B}_{01}, encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte.
  2. Como A es I20, se tiene \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21} que es paralela a OX1. Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos A y B encontramos I01 en el punto de corte.

2.3 Ligaduras cinemáticas

Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas {s,θ,φ}


\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1,\\
\vec{\omega}_{01} =-\dot{\phi}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1.
\end{array}

Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro


\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0},\\
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
= (\dot{s} + R\dot{\theta})\,\vec{k},
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\dot{\theta} = -\dot{s}/R.

La otra ligadura es que \vec{c}^{\,B}_{01}\parallel\vec{\jmath}_1. Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos


\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,B}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} =
(\dot{s} -2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{\imath}_1 - 2R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \overrightarrow{AB} = 2R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - 2R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}

Como la componente en \vec{\imath}_1 de \vec{v}^{\,B}_{01} debe ser cero tenemos


\dot{s} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi.

Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado


\left.
\begin{array}{l}
\dot{s} - 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0,\\
\dot{\theta} + 2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi = 0.
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
a=1, \quad b=-2R, \quad c=1, \quad d = 2.

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