http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Disco_articulado_con_una_varilla_(G.I.A.)&feed=atom&action=historyDisco articulado con una varilla (G.I.A.) - Historial de revisiones2024-03-29T07:55:47ZHistorial de revisiones de esta página en la wikiMediaWiki 1.40.0http://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Disco_articulado_con_una_varilla_(G.I.A.)&diff=668&oldid=prevPedro: /* Determinación del CIR del movimiento {21} */2023-09-26T14:30:12Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">Determinación del CIR del movimiento {21}</span></span></p>
<table style="background-color: #fff; color: #202122;" data-mw="interface">
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<tr class="diff-title" lang="es">
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Revisión anterior</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revisión del 15:30 26 sep 2023</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l130">Línea 130:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Línea 130:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Determinación del CIR del movimiento {21} ===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Determinación del CIR del movimiento {21} ===</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png|right|<del style="font-weight: bold; text-decoration: none;">300px</del>]]</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png|right|<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">250px</ins>]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Gráfica ====</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Gráfica ====</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la</div></td></tr>
</table>Pedrohttp://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Disco_articulado_con_una_varilla_(G.I.A.)&diff=667&oldid=prevPedro: /* Determinación del CIR del movimiento {21} */2023-09-26T14:29:51Z<p><span dir="auto"><span class="autocomment">Determinación del CIR del movimiento {21}</span></span></p>
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<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">← Revisión anterior</td>
<td colspan="2" style="background-color: #fff; color: #202122; text-align: center;">Revisión del 15:29 26 sep 2023</td>
</tr><tr><td colspan="2" class="diff-lineno" id="mw-diff-left-l130">Línea 130:</td>
<td colspan="2" class="diff-lineno">Línea 130:</td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Determinación del CIR del movimiento {21} ===</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>===Determinación del CIR del movimiento {21} ===</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><br/></td></tr>
<tr><td class="diff-marker" data-marker="−"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #ffe49c; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png|right]]</div></td><td class="diff-marker" data-marker="+"></td><td style="color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #a3d3ff; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png|right<ins style="font-weight: bold; text-decoration: none;">|300px</ins>]]</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Gráfica ====</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>====Gráfica ====</div></td></tr>
<tr><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la</div></td><td class="diff-marker"></td><td style="background-color: #f8f9fa; color: #202122; font-size: 88%; border-style: solid; border-width: 1px 1px 1px 4px; border-radius: 0.33em; border-color: #eaecf0; vertical-align: top; white-space: pre-wrap;"><div>Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la</div></td></tr>
</table>Pedrohttp://laplace.us.es/wiki/index.php?title=Disco_articulado_con_una_varilla_(G.I.A.)&diff=664&oldid=prevPedro: Página creada con «== Enunciado == right El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio <math>R</math>; y por una varilla <math>OA</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R</math>, articulada en su extremo <math>O</math> al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación <math>y_1=-R</math>, mientras que el extremo <math>A</math> de la varilla está obligado a deslizar…»2023-09-26T14:28:24Z<p>Página creada con «== Enunciado == <a href="/wiki/index.php/Archivo:F1_GIA_disco_biela_enunciado.png" title="Archivo:F1 GIA disco biela enunciado.png">right</a> El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio <math>R</math>; y por una varilla <math>OA</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R</math>, articulada en su extremo <math>O</math> al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación <math>y_1=-R</math>, mientras que el extremo <math>A</math> de la varilla está obligado a deslizar…»</p>
<p><b>Página nueva</b></p><div>== Enunciado ==<br />
[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_enunciado.png|right]]<br />
El mecanismo de la figura está formado por un disco (sólido "0"), de radio <math>R</math>; y por una varilla <math>OA</math> (sólido "2"), de longitud <math>2R</math>, articulada en su extremo <math>O</math> al centro del disco. El disco rueda sin deslizar sobre la recta fija (sólido "1") de ecuación <math>y_1=-R</math>, mientras que el extremo <math>A</math> de la varilla está obligado a deslizar sobre el eje <math>O_1Y_1</math>. Sabiendo que el mecanismo se mueve conforme a la ley horaria <math>\theta(t)=\omega t</math> (donde <math>\omega</math> es una constante conocida), se pide:<br />
# Los vectores de posición, <math>\overrightarrow{O_1A}=\vec{r}_{21}^A(t)</math>; velocidad, <math>\vec{v}_{21}^A(t)</math>; y aceleración <math>\vec{a}_{21}^A(t)</math>, del movimiento absoluto del extremo <math>A</math> de la varilla. ¿Qué tipo de movimiento describe dicho punto?<br />
# Reducciones cinemáticas (vectores velocidad angular y velocidad de un punto) de los movimientos {21}, {01} y {20}.<br />
# Determinación gráfica y analítica de la posición del C.I.R. del movimiento {21}.<br />
<br />
== Solución ==<br />
===Cálculo del vector de posición, velocidad y aceleración del punto A en el movimiento {21} ===<br />
El extremo <math>A</math> de la varilla está situado siempre sobre el eje<br />
<math>O_1Y_1</math>. Su posición puede determinarse en la escuadra "1" como<br />
<center><math><br />
\vec{r}_{21}^A=\overrightarrow{O_1A} = 2R\,\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1=2R\,\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}_1<br />
</math></center><br />
Como esta expresión es válida en todo instante y está expresada en la base del<br />
sólido "1", podemos derivarla para calcular la velocidad y la<br />
aceleración pedidas<br />
<center><math><br />
\begin{array}{l}<br />
\vec{v}_{21}^A =<br />
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}_{21}^A}{\mathrm{d}t}\right|_1=2R\omega\,\cos(\omega<br />
t)\,\vec{\jmath}_1\\ \\<br />
\vec{a}_{21}^A =<br />
\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^A}{\mathrm{d}t}\right|_1=-2R\omega^2\,\,\mathrm{sen}\,(\omega<br />
t)\,\vec{\jmath}_1<br />
\end{array}<br />
</math></center><br />
Para determinar el tipo de movimiento que realiza el punto <math>A</math>,<br />
observemos que se cumple<br />
<center><math><br />
\vec{a}_{21}^A=\ddot{\vec{r}}_{21}^A=-\omega^2\vec{r}_{21}^A\Rightarrow<br />
\ddot{y}_{21}^A=-\omega^2{y}_{21}^A<br />
</math></center><br />
Es decir, es un movimiento armónico simple a lo largo del eje<br />
<math>O_1Y_1</math>, centrado en <math>O_1</math>, de frecuencia <math>\omega</math> y amplitud <math>2R</math>. <br />
<br />
===Reducciones cinemáticas de los movimientos ===<br />
<br />
====Movimiento {21} ====<br />
Hemos calculado <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Para determinar <math>\vec{\omega}_{21}</math> necesitamos<br />
la velocidad en otro punto. Para ello vamos a expresar la posición del<br />
otro extremo de la varilla en la base de la escuadra <math>O_1X_1Y_1</math>. El<br />
punto <math>O</math> se mueve siempre a lo largo del eje <math>O_1X_1</math>. Por<br />
trigonometría tenemos<br />
<center><math><br />
\overrightarrow{O_1O} = -2R\,\cos\theta\,\vec{\imath}_1=-2R\,\cos(\omega t)\,\vec{\imath}_1<br />
</math></center><br />
De nuevo podemos derivar esta expresión para calcular <math>\vec{v}_{21}^O</math><br />
<center><math><br />
\vec{v}_{21}^O=\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{v}_{21}^O}{\mathrm{d}t}\right|_1=2R\omega\,\,\mathrm{sen}\,(\omega<br />
t)\,\vec{\imath}_1<br />
</math></center><br />
Teniendo en cuenta que <math>\vec{\omega}_{21}=\omega_{21}\,\vec{k}</math>, la ecuación del<br />
campo de velocidades nos permite plantear la ecuación<br />
<center><math><br />
\begin{array}{c}<br />
\vec{v}_{21}^A=\vec{v}_{21}^O+\vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{OA}=<br />
\vec{v}_{21}^O+<br />
\left|<br />
\begin{array}{ccc}<br />
\vec{\imath}_1&\vec{\jmath}_1&\vec{k}_1\\0&0&\omega_{21}\\2R\cos(\omega t)&2R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)&0<br />
\end{array}<br />
\right|\Rightarrow\\ \\<br />
\left(<br />
\begin{array}{c}<br />
0\\2R\omega\cos(\omega t)<br />
\end{array}<br />
\right)=<br />
\left(<br />
\begin{array}{c}<br />
(w-\omega_{21})2R\cos(\omega t)\\2R\omega_{21}\cos(\omega t)<br />
\end{array}<br />
\right)<br />
\end{array}<br />
</math></center><br />
Por tanto <math>\omega_{21}=\omega</math> y la reducción en el punto <math>O</math> es<br />
<center><math><br />
\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{21}^O=2R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}_1<br />
</math></center><br />
<br />
====Movimiento {01} ====<br />
El disco rueda sin deslizar sobre la línea <math>y_1=-R</math>. Por tanto el<br />
punto de contacto es el CIR y su velocidad en este movimiento es nula,<br />
<math>\vec{v}_{01}^C=\vec{0}</math>. Por otro lado, aún no podemos determinar la<br />
velocidad angular de este movimiento. Por tanto lo que sabemos por<br />
ahora es<br />
<center><math><br />
\vec{\omega}_{01}=\omega_{01}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{01}^C=\vec{0}<br />
</math></center><br />
<br />
====Movimiento {20} ====<br />
El punto <math>O</math> pertenece tanto al sólido "2" como al "0". Por tanto<br />
es un punto fijo en este movimiento. La reducción en <math>O</math> es<br />
<center><math><br />
\vec{\omega}_{20}=\omega_{20}\,\vec{k}\qquad\qquad\vec{v}_{20}^O=\vec{0} <br />
</math></center><br />
<br />
====Composición {21} = {20} + {01} ====<br />
La velocidad <math>\vec{v}_{21}^O</math> puede escribirse<br />
<center><math><br />
\vec{v}_{21}^O=\vec{v}_{20}^O+\vec{v}_{01}^O\Rightarrow \vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{21}^O-\vec{v}_{20}^O<br />
</math></center><br />
donde <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{20}^O</math> son conocidas.<br />
Ahora podemos calcular <math>\vec{v}_{01}^O</math><br />
<center><math><br />
\vec{v}_{01}^O=\vec{v}_{01}^C+\vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CO}=(\omega_{01}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1)=-R\omega_{01}\,\vec{\imath}_1<br />
</math></center><br />
Sustituyendo tenemos<br />
<center><math><br />
-R\omega_{01}\,\vec{\imath}_1=2R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\imath}_1 \Rightarrow<br />
\vec{\omega}_{01}=-2\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{k}<br />
</math></center><br />
Para obtener <math>\vec{\omega}_{20}</math> recurrimos a la composición de velocidades<br />
angulares<br />
<center><math><br />
\vec{\omega}_{21}=\vec{\omega}_{20}+\vec{\omega}_{01}\Rightarrow\vec{\omega}_{20}=\vec{\omega}_{21}-\vec{\omega}_{01}=\omega(1+2\,\mathrm{sen}\,(\omega t))\,\vec{k}<br />
</math></center><br />
Por tanto, las reducciones pedidas son<br />
<center><math><br />
\begin{array}{lclcl}<br />
\{21\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{21}=\omega\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{21}^O=2R\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega<br />
t)\,\vec{\imath}_1\\<br />
&&&&\\<br />
\{20\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{20}=\omega(1+2\,\mathrm{sen}\,(\omega t))\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{20}^O=\vec{0}\\<br />
&&&&\\ <br />
\{01\}&\longrightarrow&\vec{\omega}_{01}=-2\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{k}&\qquad\qquad&\vec{v}_{01}^C=\vec{0}<br />
\end{array} <br />
</math></center><br />
<br />
===Determinación del CIR del movimiento {21} ===<br />
<br />
[[Imagen:F1_GIA_disco_biela_a.png|right]]<br />
====Gráfica ====<br />
Tenemos <math>\vec{v}_{21}^O</math> y <math>\vec{v}_{21}^A</math>. Si trazamos en cada punto la<br />
recta perpendicular a sus velocidades respectivas el punto de corte<br />
nos da <math>I_{21}</math>, como se indica en el dibujo<br />
<br />
====Analítica ====<br />
Partiendo de <math>\vec{v}_{21}^O</math>, la posición de <math>I_{21}</math> es<br />
<center><math><br />
\overrightarrow{OI}_{21} =<br />
\dfrac{\vec{\omega}_{21}\times\vec{v}_{21}^O}{|\vec{\omega}_{21}|^2}=2R\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\vec{\jmath}_1<br />
</math></center><br />
Podemos comprobar que ambos métodos dan el mismo resultado.<br />
<br />
[[Categoría: Problemas de movimiento plano]]</div>Pedro