Enunciado

El sistema mecánico de la figura está compuesto por los siguientes sólidos rígidos:

  1. Sólido "1": plano fijo .
  2. Sólido "3": placa cuadrada, de lado , que desliza sobre el eje , manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él.
  3. Sólido "2": disco, de centro en y radio que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje en el punto de contacto , a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto .
  4. Sólido "0": sistema de ejes , definido de tal modo que el eje contiene permanentemente al centro del disco, mientras que el eje es tangente a dicho disco.

En el instante considerado en la figura

  1. determina gráficamente la posición de los C.I.R. , , , , .
  2. Utilizando como parámetro el ángulo del dibujo (ángulo que forma el eje con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a:

calcula las reducciones cinemáticas en de los movimientos {20}, {03}, {31} y {21}:

Solución

Determinación gráfica de los CIR

Analicemos los datos que tenemos de cada movimiento

Movimiento {21}

El disco rueda sin deslizar en el punto , entonces este punto es el CIR del movimiento. Por tanto

Movimiento {31}

La placa se desliza paralelamente al suelo. Por tanto es una traslación pura paralela al eje :

Movimiento {20}

El punto "C" pertenece tanto al sólido "2" como al "0", pues está siempre sobre el eje . Por tanto es un punto fijo de este movimiento. Tenemos

Movimiento {03}

El punto "A" pertenece tanto al sólido "3" como al "0", pues está siempre en el punto de contacto entre el disco y la placa. Por tanto es un punto fijo de este movimiento. Tenemos

Movimiento {23}

El punto está en la intersección de la línea y la línea

Movimiento {01}

El punto está en la intersección de la línea y la línea


Reducciones cinemáticas

Debemos determinar las velocidades angulares y velocidades en en los movimientos de la composición

En este ejercicio hay que tener cuidado de no dejarse llevar por la intuición y ser sistemáticos. Analicemos con detalle estos movimientos.

Movimiento {03}

Este movimiento es similar al que vimos en el problema 1. El eje gira con el ángulo respecto al sólido "3", así pues

Como se nos pide la velocidad en , aplicamos la ecuación del campo de velocidades de {03} para determinarla

Movimiento {31}

Esto es una traslación pura, como hemos visto antes. Pero no conocemos la velocidad de la traslación. Por ahora tenemos

No particularizamos la velocidad en un punto, pues en todos ellos la velocidad es la misma.

Movimiento {20}

Este movimiento es una rotación con centro en , pero no conocemos su velocidad angular. Tenemos

Movimiento {21}

En este caso el CIR es el punto de contacto entre el disco y la pared. Podemos determinar la posición de respecto al triedro en reposo "1", y a partir de ahí calcular la velocidad absoluta. De la figura adjunta vemos que

Por otro lado la velocidad en es cero pues es un punto fijo del movimiento. Entonces

Con la ecuación del campo de velocidades relacionamos y y calculamos

Comparando las dos velocidades obtenemos la reducción

Aplicación de la composición {21}={20} + {03} + {31}

Podemos ahora aplicar esta composición para encontrar las magnitudes que nos faltan. Para las velocidades angulares tenemos

Aquí no conocemos . Despejando

Para las velocidades

En este caso la incógnita es . Despejando

Tenemos que expresar en la base del triedro "1". Observando la última figura vemos que

Por tanto