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Enunciado

El sistema mecánico de la figura está constituido por los siguientes sólidos rígidos: El plano fijo (sólido “1”); la placa cuadrada, de lado , que desliza sobre el eje , manteniendo su lado inferior completo en permanente contacto con él (sólido “3”); el disco, de centro en C y radio , que, en todo instante, rueda sin deslizar sobre el eje en el punto de contacto B, a la vez que rueda y desliza sobre la placa cuadrada en el punto de contacto A (sólido “2”) y el sistema de ejes , definido de tal modo que el eje contiene permanentemente al centro C del disco, mientras que el eje es tangente a dicho disco (sólido “0”).

  1. Para el instante considerado en la figura, determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación , , , e .
  2. Utilizando como parámetro el ángulo del dibujo (ángulo que forma el eje con respecto al lado superior de la placa cuadrada), y teniendo presentes las leyes de composición de velocidades y de velocidades angulares aplicadas a {21} = {20} + {03} + {31} halle las siguientes reducciones cinemáticas en C: , , y .

Centros instantáneos de rotación

Tenemos aquí cuatro sólidos y por tanto 6 centros instantáneos de rotación. Algunos de ellos son evidentes, otros requieren el uso del teorema de los tres centros.

Movimiento {21}
Dado que el disco rueda sin deslizar sobre la pared vertical, el CIR es el punto de contacto B entre el disco y la pared
Movimiento {20}
El punto C es un un punto material del disco “2” que ocupa una posición fija en el sistema “0” por cómo está definido éste. Al ser nula la velocidad , este punto es el CIR de este movimiento
Movimiento {30}
Ocurre lo mismo que en el caso anterior, pero con el punto A: es un punto del sólido 3 que ocupa una posición fija en el sistema “0”. Por ello
Movimiento {31}
La placa se está trasladando horizontalmente. Por tanto, su centro instantáneo de rotación se encuentra situado en el infinito, según la dirección perpendicular a la velocidad, que en este caso es la que tomamos como vertical.
Movimiento {01}
Por el teorema de los tres centros se encuentra alineado con el y el . Por tanto se halla sobre la recta horizontal que pasa por C. Por el mismo teorema, se encuentra alineado con el y el . Por ello, se encuentra sobre la vertical que pasa por A. La intersección de estas dos rectas nos da el CIR
Movimiento {32}
Para este punto aplicamos de nuevo dos veces el teorema de los tres centros. está alineado con e , esto es se halla sobre la recta que pasa por A y C. Asimismo, se encuentra alineado con e , es decir, está en la recta vertical que pasa por B, el eje . La intersección de las dos rectas da el CIR buscado, .

Reducciones cinemáticas

Para las reducciones cinemáticas necesitamos hallar cuatro velocidades angulares y cuatro velocidades lineales del punto C. Puesto que el cálculo de cada una implica ir hallando simultáneamente el resto, calcularemos las diferentes cantidades de forma un tanto desordenada, y al final tabularemos los distintos resultados.

Comenzamos por el dato más sencillo: la velocidad de C en el movimiento {20} es nula, por tratarse del CIR de este movimiento

También es un dato la velocidad angular en el movimiento {03}

Sabemos asimismo que el movimiento {31} es una traslación, por lo que

Esto nos permite hallar la velocidad angular en {01}

Para obtener el resto de las cantidades usaremos, como indica el enunciado, la descomposición {21} = {20} + {03} + {31}. Consideremos el punto C, respecto al cual se nos piden las diferentes reducciones. La ley de composición de velocidades nos dice

Analicemos cada uno de estos sumandos:

Velocidad de C en {21}
Esta consiste en una rotación en torno al punto B, con una velocidad angular que por ahora no conocemos
Velocidad de C en {20}
Es nula, por tratarse del CIR de este movimiento
Velocidad de C en {03}
Esta es una rotación alrededor de A con velocidad angular
Este resultado está en expresado en la base “0”. Si lo pasamos a la base “1” queda
Velocidad de C en {31}
Este movimiento es una traslación horizontal

Sumando los distintos términos e igualando nos queda

Puesto que dos vectores son iguales si lo son sus componentes respectivas

Esto nos permite hallar las dos cantidades desconocidas

        

Por último, hallamos la velocidad angular {20}

Con toda esta información, ya podemos enunciar las diferentes reducciones cinemáticas.

Movimiento {20}
En este movimiento C está en reposo y la velocidad angular es la que acabamos de calcular, por tanto
Movimiento {03}
En el movimiento {03} C efectúa una rotación en torno a A, tal que
Movimiento {31}
En el movimiento {31} C se está trasladando horizontalmente
Movimiento {21}
Por último, el movimiento {21} es una rotación alrededor de B