Dinámica de un sistema de partículas

Definición

En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de $N$ puntos materiales que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.

Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, $m_{i}$, siendo $i=1,\ldots ,N$ un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula $i$ está caracterizada por una posición $\mathbf {r} _{i}$ y una velocidad $\mathbf {v} _{i}$. Esta posición y esta velocidad evolucionan de acurdo con las leyes de la dinámica

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {v} _{i}$    $m_{i}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{i}$    $i=1,\ldots ,N$

siendo $\mathbf {F} _{i}$ la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula $i$. Esta resultante se compone de las fuerzas que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre $i$, más la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre ella

$\mathbf {F} _{i}=\mathbf {F} _{i\mathrm {ext} }+\mathbf {F} _{1\to i}+\mathbf {F} _{2\to i}+\cdots =\mathbf {F} _{i\mathrm {ext} }+\sum _{k=1}^{N}\mathbf {F} _{k\to i}$

Este sumatorio representa la suma sobre las partículas restantes, esto es $k$ va de $1$ hasta $N$, excluyendo el caso $k=i$, ya que admitimos que una partícula no produce fuerza sobre sí misma (equivalentemente, $\mathbf {F} _{i\to i}=\mathbf {0}$).

Suponemos que las interacciones entre las partículas obdecen la 3ª ley de Newton

$\mathbf {F} _{k\to i}=-\mathbf {F} _{i\to k}$

o, lo que es lo mismo

$\mathbf {F} _{k\to i}+\mathbf {F} _{i\to k}=\mathbf {0}$

En la mayoría de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula $k$ ejerce sobre la $i$ (y por tanto la que la $i$ ejerce sobre la $k$) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector $\mathbf {F} _{k\to i}$ es paralelo a la posición relativa $\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k}$, esto es, si

$(\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{k})\times \mathbf {F} _{k\to i}=\mathbf {0}$

Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición

$\mathbf {r} _{i}\times \mathbf {F} _{k\to i}+\mathbf {r} _{k}\times \mathbf {F} _{i\to k}=\mathbf {0}$

Propiedades de un sistema de partículas

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Centro de masas

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Cantidad de movimiento

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Momento cinético

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Energía cinética

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Teoremas de conservación de un sistema de partículas

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Colisiones de dos partículas

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Consideremos dos partículas de masas $m_{1}$ y $m_{2}$, con velocidades $\mathbf {v} _{1}$ y $\mathbf {v} _{2}$, aisladas de toda influencia exterior, de modo que las únicas fuerzas que pueden sufrir son las que se ejercen la una sobre la otra. Las velocidades de las partículas son tales que colisionan la una con la otra. Después del choque, las masas de las partículas son las mismas, pero sus velocidades son $\mathbf {v} '_{1}$ y $\mathbf {v} '_{2}$.

Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del sistema formado por las dos partículas será la suma de la cantidad de movimiento de cada una de ellas

$\mathbf {p} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}=m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}$

Derivando respecto al tiempo, tenemos que la variación de la cantidad de movimiento del sistema es

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{1}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{2}}{\mathrm {d} t}}$

Usando la segunda ley de Newton tenemos

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{1}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{2\to 1}\qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{2}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{1\to 2}$

Aquí, $\mathbf {F} _{2\to 1}$ es la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y $\mathbf {F} _{1\to 2}$ es la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 2. Si las fuerzas cumplen la Tercera Ley de Newton se cumple que

$\mathbf {F} _{1\to 2}=-\mathbf {F} _{2\to 1}$

Entonces, para dos partículas aisladas que colisionan, la cantidad de movimiento del sistema se conserva

${\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{2\to 1}+\mathbf {F} _{1\to 2}=\mathbf {0} \Rightarrow \mathbf {P} =\mathbf {p} _{1}+\mathbf {p} _{2}=\mathbf {cte}$

Por tanto, si las velocidades antes del choque son $\mathbf {v} _{1}$ y $\mathbf {v} _{2}$, y después del choque son $\mathbf {v} '_{1}$ y $\mathbf {v} '_{2}$, se tiene

$m_{1}\mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {v} _{2}=m_{1}\mathbf {v} '_{1}+m_{2}\mathbf {v} '_{2}$

Energía cinética

A diferencia de la cantidad de movimiento, la energía cinética del sistema de dos partículas no se conservará en general, ya que las fuerzas internas pueden realizar trabajo y disipar energía (normalmente en forma de calor desprendido).

Cuando hay disipación de energía se dice que la colisión es inelástica. Para medir el grado de disipación se define el coeficiente de restitución

$K={\frac {|\mathbf {v} '_{2}-\mathbf {v} '_{1}|}{|\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1}|}}$

esto es, el cociente entre la velocidad con la que se alejan relativamente las dos masas, y la velocidad con la que se acercan.

Existen dos casos límite en las colisiones:

Colisión elástica

cuando no se disipa energía alguna y la energía cinética final es igual a la inicial. En este caso $K=1$.

Colisión perfectamente inelástica

cuando las dos partículas se fusionan o empotran en la colisión y tras esta permanecen unidas solidariamente. En ese caso $K=0$ y se disipa el máximo posible de energía cinética.

Problemas

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