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Dinámica de un sistema de partículas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Cantidad de movimiento del sistema)
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==Colisiones de dos partículas==
==Colisiones de dos partículas==
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Consideremos dos partículas de masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math>, con velocidades
 
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sus velocidades son <math> \mathbf{v}'_1</math> y <math> \mathbf{v}'_2</math>.
 
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Consideremos dos partículas de masas <math>m_1</math> y <math>m_2</math>, con velocidades <math> \mathbf{v}_1</math>  y <math> \mathbf{v}_2</math>, aisladas de toda influencia exterior, de modo que las únicas fuerzas que pueden sufrir son las que se ejercen la una sobre la otra. Las velocidades de las partículas son tales que colisionan la una con la otra. Después del choque, las masas de las partículas son las mismas, pero sus velocidades son <math> \mathbf{v}'_1</math> y <math> \mathbf{v}'_2</math>.
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===Cantidad de movimiento===
La [[cantidad de movimiento de un sistema de partículas|cantidad de movimiento]] del sistema formado por las dos partículas será la suma de la cantidad de movimiento de cada una de ellas
La [[cantidad de movimiento de un sistema de partículas|cantidad de movimiento]] del sistema formado por las dos partículas será la suma de la cantidad de movimiento de cada una de ellas
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A diferencia de la cantidad de movimiento, la [[energía cinética de un sistema de partículas|energía cinética del sistema]] de dos partículas no se conservará en general, ya que las fuerzas internas pueden realizar trabajo y disipar energía (normalmente en forma de calor desprendido).
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Cuando hay disipación de energía se dice que la colisión es inelástica. Para medir el grado de disipación se define el [[coeficiente de restitución]]
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<center><math>K = \frac{|\mathbf{v}'_2-\mathbf{v}'_1|}{\frac{|\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1|}</math></center>
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esto es, el cociente entre la velocidad con la que se alejan relativamente las dos masas, y la velocidad con la que se acercan.
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Existen dos casos límite en las colisiones:
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;Colisión elástica: cuando no se disipa energía alguna y la energía cinética final es igual a la inicial. En este caso <math>K = 1</math>.
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;Colisión perfectamente inelástica: cuando las dos partículas se fusionan o empotran en la colisión y tras esta permanecen unidas solidariamente. En ese caso <math>K=0</math> y se disipa el máximo posible de energía cinética.
[[Categoría:Dinámica de un sistema de partículas|0]]
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Revisión de 20:59 10 feb 2010

Contenido

1 Propiedades de un sistema de partículas

Artículo completo: Propiedades de un sistema de partículas

1.1 Centro de masas

Artículo completo: Centro de masas de un sistema de partículas

1.2 Cantidad de movimiento

Artículo completo: Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

1.3 Momento cinético

Artículo completo: Momento cinético de un sistema de partículas

1.4 Energía cinética

Artículo completo: Energía cinética de un sistema de partículas

2 Teoremas de conservación de un sistema de partículas

Artículo completo: Teoremas de conservación de un sistema de partículas

2.1 Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

2.2 Energía de un sistema de partículas

2.3 Momento angular de un sistema de partículas

3 Introducción a la dinámica de un sólido rígido

4 Colisiones de dos partículas

Artículo completo: Colisiones de dos partículas

Consideremos dos partículas de masas m1 y m2, con velocidades  \mathbf{v}_1 y  \mathbf{v}_2, aisladas de toda influencia exterior, de modo que las únicas fuerzas que pueden sufrir son las que se ejercen la una sobre la otra. Las velocidades de las partículas son tales que colisionan la una con la otra. Después del choque, las masas de las partículas son las mismas, pero sus velocidades son  \mathbf{v}'_1 y  \mathbf{v}'_2.

4.1 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del sistema formado por las dos partículas será la suma de la cantidad de movimiento de cada una de ellas


\mathbf{p} = \mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2 = m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2

Derivando respecto al tiempo, tenemos que la variación de la cantidad de movimiento del sistema es


\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t}=
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t}

Usando la segunda ley de Newton tenemos


\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_1}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1}
\qquad \qquad
\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}_2}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{1\to2}

Aquí,  \mathbf{F}_{2\to1} es la fuerza que la partícula 2 ejerce sobre la 1 y \mathbf{F}_{1\to2} es la fuerza que la partícula 1 ejerce sobre la 2. Si las fuerzas cumplen la Tercera Ley de Newton se cumple que


\mathbf{F}_{1\to2} = -\mathbf{F}_{2\to1}

Entonces, para dos partículas aisladas que colisionan, la cantidad de movimiento del sistema se conserva


\frac{\mathrm{d}\mathbf{p}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{F}_{2\to1} + \mathbf{F}_{1\to2}=\mathbf{0}
\Rightarrow
\mathbf{P}=\mathbf{p}_1+\mathbf{p}_2=\mathbf{cte}

Por tanto, si las velocidades antes del choque son \mathbf{v}_1 y \mathbf{v}_2 , y después del choque son \mathbf{v}'_1 y \mathbf{v}'_2 , se tiene


m_1\mathbf{v}_1 + m_2\mathbf{v}_2 = m_1\mathbf{v}'_1 + m_2\mathbf{v}'_2

4.2 Energía cinética

A diferencia de la cantidad de movimiento, la energía cinética del sistema de dos partículas no se conservará en general, ya que las fuerzas internas pueden realizar trabajo y disipar energía (normalmente en forma de calor desprendido).

Cuando hay disipación de energía se dice que la colisión es inelástica. Para medir el grado de disipación se define el coeficiente de restitución

No se pudo entender (error de sintaxis): K = \frac{|\mathbf{v}'_2-\mathbf{v}'_1|}{\frac{|\mathbf{v}_2-\mathbf{v}_1|}

esto es, el cociente entre la velocidad con la que se alejan relativamente las dos masas, y la velocidad con la que se acercan.

Existen dos casos límite en las colisiones:

Colisión elástica
cuando no se disipa energía alguna y la energía cinética final es igual a la inicial. En este caso K = 1.
Colisión perfectamente inelástica
cuando las dos partículas se fusionan o empotran en la colisión y tras esta permanecen unidas solidariamente. En ese caso K = 0 y se disipa el máximo posible de energía cinética.

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