Diferencia entre las páginas «No Boletín - Ecuaciones horarias en coordenadas polares (Ex.Feb/14)» y «No Boletín - Equilibrio de partícula en parábola»

Revisión del 19:00 10 ene 2024

Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte de constante $k$ y longitud natural nula anclado en el punto ${\vec {r}}_{0}={\vec {0}}$ . La partícula está ensartada en la parábola $z=-x^{2}/(2b)$ .

Determine la(s) posición(es) de equilibrio de la masa sobre la parábola.
Calcule la fuerza de reacción vincular de la parábola sobre la partícula en la(s) posición(es) de equilibrio.
Trace la curva de la energía potencial como función de la coordenada $x$ y discuta la estabilidad de las posibles posiciones de equilibrio.

Equilibrio

La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de reacción vincular. En el equilibrio, la resultante debe ser nula

m{\vec {g}}-k{\vec {r}}+{\vec {\Phi }}={\vec {0}}

Junto a esta ecuación tenemos la del vínculo

z=-{\frac {x^{2}}{2b}}

Separando en las componentes cartesianas tenemos, para el peso

m{\vec {g}}=-mg{\vec {k}}

y para la fuerza elástica

-k{\vec {r}}=-kx{\vec {\imath }}-kz{\vec {k}}=-kx{\vec {\imath }}+{\frac {kx^{2}}{2b}}{\vec {k}}

La fuerza de reacción vincular va en la dirección normal a la parábola y contenida en el plano OXZ (pues no hay fuerzas activas en la dirección de OY). El vector tangente a la parábola

{\vec {r}}=x{\vec {\imath }}-{\frac {x^{2}}{2b}}{\vec {k}}

es

{\vec {T}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} x}{|\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} x|}}={\frac {{\vec {\imath }}-(x/b){\vec {k}}}{\sqrt {1+(x/b)^{2}}}}

El vector normal es el perpendicular a este

{\vec {N}}={\frac {(x/b){\vec {\imath }}+{\vec {k}}}{\sqrt {1+(x/b)^{2}}}}

La fuerza de reacción vincular es paralela a este vector, por lo que puede escribirse como

{\vec {\Phi }}=\lambda \left((x/b){\vec {\imath }}+{\vec {k}}\right)

Sustituyendo y separando en las componentes tenemos las ecuaciones

-kx+{\frac {\lambda x}{b}}=0

y

-mg+{\frac {kx^{2}}{2b}}+\lambda =0

donde las incógnitas son x (posición de equilibrio) y $\lambda$ , que da la intensidad de la fuerza de reacción vincular.

Este sistema admite, en cualquier caso, la solución

x=0\qquad \qquad \lambda =mg\qquad \qquad {\vec {\Phi }}=mg{\vec {k}}

En esta posición, situada en el vértice de la parábola, el resorte no ejerce fuerza alguna y la reacción es igual y opuesta al peso.

Si $x\neq 0$ tenemos

\lambda =kb

y sustituyendo en la segunda

x=\pm {\sqrt {{\frac {2b}{k}}(mg-kb)}}

La existencia o no de nuevas posiciones de reposo depende de la relación entre las distintas constantes. Si la masa es lo suficientemente grande como para que

{\frac {mg}{kb}}>1

Existen tres puntos de equilibrio, el del vértice y dos situados simétricamente a sus lados.

Si la masa es pequeña y esta combinación es menor que la unidad, el único punto de equilibrio es el del vértice.

Físicamente podemos ver que si la masa es grande, el peso es dominante y tira de la masa hacia abajo por la parábola, hasta que la fuerza recuperadora del resorte es capaz de retenerla. Si la masa es pequeña, la fuerza recuperadora es la dominante y la gravedad no es capaz de sacarla del equilibrio de la posición central.

Fuerza de reacción

Posición central

Según indicamos, en la posición central, la fuerza de reacción vincular compensa al peso

{\vec {\Phi }}=mg{\vec {k}}

Posiciones laterales

Si se da el caso de que existen las dos posiciones de equilibrio adicionales, la fuerza de reacción vincular en ellas vale

\lambda =kb\qquad \qquad {\vec {\Phi }}=\lambda {\frac {x}{b}}{\vec {\imath }}+\lambda {\vec {k}}=\pm kb{\sqrt {2\left({\frac {mg}{kb}}-1\right)}}{\vec {\imath }}+kb{\vec {k}}

Energía potencial

Puesto que la fuerza de reacción es normal, la energía potencial es la asociada a la gravedad y a la fuerza elástica

U=mgz+{\frac {k}{2}}(x^{2}+z^{2})=-{\frac {mgx^{2}}{2b}}+{\frac {k}{2}}\left(x^{2}+{\frac {x^{4}}{4b^{2}}}\right)={\frac {kb-mg}{2b}}x^{2}+{\frac {kx^{4}}{8b^{2}}}

La gráfica de esta función se caracteriza por que el exponente de mayor grado es par y su coeficiente es positivo, con lo que la función es creciente para $x\to \pm \infty$ . Tenemos lo que se llama un pozo de potencial.

El comportamiento en las proximidades de $x=0$ lo da el coeficiente del término cuadrático.

Si $mg/kb<1$ este coeficiente es positivo y la energía potencial tiene un mínimo en $x=0$ . Tenemos entonces un solo punto de equilibrio que además es de equilibrio estable.

Si $mg/kb>1$ el coeficiente es negativo y la energía potencial tiene un máximo en $x=0$ . El vértice de la parábola es ahora un punto de equilibrio inestable. Puesto que la energía crece para |x| grande, debe haber un mínimo a cada lado del vértice. Estos son los dos puntos de equilibrio estable situados simétricamente respecto al vértice.

@@ Línea 1: / Línea 1: @@
 ==Enunciado==
-[[Archivo:polares.png|right]]
+Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte de constante <math>k</math> y longitud natural nula anclado en el punto <math>\vec{r}_0=\vec{0}</math>. La partícula está ensartada en la parábola <math>z = -x^2/(2b)</math>.
-El movimiento de una partícula <math>P\,</math>, de masa <math>m\,</math>, en el plano <math>OXY\,</math> queda descrito en coordenadas polares mediante las ecuaciones horarias:
+# Determine la(s) posición(es) de equilibrio de la masa sobre la parábola.
-<center><math>
+# Calcule la fuerza de reacción vincular de la parábola sobre la partícula en la(s) posición(es) de equilibrio.
-\rho(t)=2R\,[1+\mathrm{cos}(\Omega t)]\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\theta(t)=\Omega t
+# Trace la curva de la energía potencial como función de la coordenada <math>x</math> y discuta la estabilidad de las posibles posiciones de equilibrio.
+==Equilibrio==
+La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle
+y la fuerza de reacción vincular. En el equilibrio, la resultante debe ser nula
+<center><math>m\vec{g}-k\vec{r}+\vec{\Phi}=\vec{0}</math></center>
+Junto a esta ecuación tenemos la del vínculo
+<center><math>z = -\frac{x^2}{2b}</math></center>
+Separando en las componentes cartesianas tenemos, para el peso
+<center><math>m\vec{g}=-mg\vec{k}</math></center>
+y para la fuerza elástica
+<center><math>-k\vec{r}=-kx\vec{\imath}-kz\vec{k}=-kx\vec{\imath}+\frac{kx^2}{2b}\vec{k}
 </math></center>
-siendo <math>R\,</math> y <math>\Omega\,</math> constantes positivas conocidas.
-# Determine la velocidad y la aceleración de la partícula en componentes polares.
+La fuerza de reacción vincular va en la dirección normal a la parábola y contenida en el
-# Halle las componentes intrínsecas de la aceleración de la partícula, y el radio de curvatura de su trayectoria.
+plano OXZ (pues no hay fuerzas activas en la dirección de OY). El vector tangente a la
-# Calcule la energía cinética de la partícula, y la potencia instantánea desarrollada por la fuerza neta que actúa sobre la partícula.
+parábola
-# ¿Es el movimiento de la partícula un movimiento central con centro en el origen de coordenadas <math>O\,</math>? Razone la respuesta.
+<center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}-\frac{x^2}{2b}\vec{k}</math></center>
+es
+<center><math>\vec{T}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}x}{|\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}x|}=
+\frac{\vec{\imath}-(x/b)\vec{k}}{\sqrt{1+(x/b)^2}}</math></center>
+El vector normal es el perpendicular a este
+<center><math>\vec{N}=\frac{(x/b)\vec{\imath}+\vec{k}}{\sqrt{1+(x/b)^2}}</math></center>
+La fuerza de reacción vincular es paralela a este vector, por lo que puede escribirse
+como
-==Velocidad y aceleración==
+<center><math>\vec{\Phi}=\lambda\left((x/b)\vec{\imath}+\vec{k}\right)
-La velocidad y la aceleración en componentes polares vienen dadas por las expresiones:
-<center><math>
-\vec{v}=\dot{\rho}\,\vec{u}_{\rho}+\rho\,\dot{\theta}\,\vec{u}_{\theta}
-\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vec{a}=\left(\ddot{\rho}-\rho\,\dot{\theta}^{2}\right)\,
-\vec{u}_{\rho}+\left(2\,\dot{\rho}\,\dot{\theta}+\rho\,\ddot{\theta}\,\right)\,\vec{u}_{\theta}
 </math></center>
-Necesitamos, por tanto, calcular las derivadas de primer y segundo orden de <math>\rho\,</math> y <math>\theta\,</math> respecto al tiempo:
+Sustituyendo y separando en las componentes tenemos las ecuaciones
-<center><math>
-\dot{\rho}=-2R\,\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ddot{\rho}=-2R\,\Omega^2\,\mathrm{cos}(\Omega t)\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dot{\theta}=\Omega\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ddot{\theta}=0
+<center><math>-kx + \frac{\lambda x}{b} = 0
-</math></center>
-y sustituyendo en las expresiones de <math>\vec{v}\,</math> y <math>\vec{a}\,</math>, se obtiene:
-<center><math>
-\vec{v}=-2R\,\Omega\,\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{u}_{\rho}\,+\, 2R\,\Omega\,[1+\,\mathrm{cos}(\Omega t)]\,\vec{u}_{\theta}\,\,\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,
-\vec{a}=-2R\,\Omega^2\,[1\,+\,2\,\mathrm{cos}(\Omega t)]\,\vec{u}_{\rho}-\, 4R\,\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\,\vec{u}_{\theta}
 </math></center>
-==Componentes intrínsecas de la aceleración y radio de curvatura==
+y
-Podemos calcular la componente tangencial de la aceleración como la derivada respecto al tiempo de la celeridad:
-<center><math>
+<center><math>-mg+\frac{kx^2}{2b}+\lambda = 0</math></center>
-v=|\vec{v}\,|=2\sqrt{2}\,R\,\Omega\,\sqrt{1+\mathrm{cos}(\Omega t)}\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,a_t=\displaystyle\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-\sqrt{2}\,R\,\Omega^2\,\displaystyle\frac{\mathrm{sen}(\Omega t)}{\sqrt{1+\mathrm{cos}(\Omega t)}}
-</math></center>
+donde las incógnitas son x (posición de equilibrio) y <math>\lambda</math>, que da la intensidad de
-Otra posibilidad sería calcular la componente tangencial de la aceleración proyectando el vector aceleración sobre la dirección del vector velocidad (que es tangente a la trayectoria):
+la fuerza de reacción vincular.
-<center><math>
-a_t=\displaystyle\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{v}
+Este sistema admite, en cualquier caso, la solución
-</math></center>
+<center><math>x=0\qquad\qquad\lambda=mg\qquad\qquad\vec{\Phi}=mg\vec{k}</math></center>
+En esta posición, situada en el vértice de la parábola, el resorte no ejerce fuerza
+alguna y la reacción es igual y opuesta al peso.
+Si <math>x \neq 0</math> tenemos
+<center><math>\lambda = kb</math></center>
+y sustituyendo en la segunda
+<center><math>x =\pm \sqrt{\frac{2b}{k}(mg-kb)}</math></center>
+La existencia o no de nuevas posiciones de reposo depende de la relación entre las
+distintas constantes. Si la masa es lo suficientemente grande como para que
+<center><math>\frac{mg}{kb}>1</math></center>
+Existen tres puntos de equilibrio, el del vértice y dos situados simétricamente a sus
+lados.
+Si la masa es pequeña y esta combinación es menor que la unidad, el único punto de
+equilibrio es el del vértice.
+Físicamente podemos ver que si la masa es grande, el peso es dominante y tira de la masa
+hacia abajo por la parábola, hasta que la fuerza recuperadora del resorte es capaz de
+retenerla. Si la masa es pequeña, la fuerza recuperadora es la dominante y la gravedad no
+es capaz de sacarla del equilibrio de la posición central.
+==Fuerza de reacción==
+===Posición central===
+Según indicamos, en la posición central, la fuerza de reacción vincular compensa al peso
+<center><math>\vec{\Phi}=mg\vec{k}</math></center>
+===Posiciones laterales===
+Si se da el caso de que existen las dos posiciones de equilibrio adicionales, la fuerza
+de reacción vincular en ellas vale
+<center><math>\lambda = kb\qquad\qquad \vec{\Phi}=\lambda\frac{x}{b}\vec{\imath}+\lambda\vec{k}=
+\pm kb\sqrt{2\left(\frac{mg}{kb}-1\right)}\vec{\imath}+kb\vec{k}</math></center>
+==Energía potencial==
+[[Archivo:potencial-muelle-parabola.png|right]]
-La componente normal de la aceleración podemos calcularla proyectando el vector aceleración sobre la dirección normal al vector
+Puesto que la fuerza de reacción es normal, la energía potencial es la asociada a la gravedad y a la fuerza elástica
-velocidad:
-<center><math>
-a_n=\displaystyle\frac{|\vec{v}\times\vec{a}|}{v}=3\,\sqrt{2}\,R\,\Omega^2\,\sqrt{1+\,\mathrm{cos}(\Omega t)}
-</math></center>
-El radio de curvatura se obtiene a partir de la componente normal de la aceleración y de la celeridad:
+<center><math>U=mgz + \frac{k}{2}(x^2+z^2) =
-<center><math>
+-\frac{mgx^2}{2b}+\frac{k}{2}\left(x^2+\frac{x^4}{4b^2}\right) = \frac{kb-mg}{2b}x^2 +
-R_{\kappa}=\displaystyle\frac{v^2}{a_n}=\displaystyle\frac{4\,\sqrt{2}\,R}{3}\,\sqrt{1+\,\mathrm{cos}(\Omega t)}
+\frac{kx^4}{8b^2}</math></center>
-</math></center>
-==Energía cinética y potencia instantánea==
+La gráfica de esta función se caracteriza por que el exponente de mayor grado es par y su coeficiente es positivo, con lo que la función es creciente para <math>x\to\pm\infty</math>. Tenemos lo que se llama un ''pozo de potencial''.
-A partir de la expresión de la celeridad, calculada anteriormente, se obtiene la energía cinética de la partícula:
-<center><math>
-K=\displaystyle\frac{1}{2}m v^2=4\, m R^2\,\Omega^2\,[1+\mathrm{cos}(\Omega t)]
-</math></center>
-La potencia instantánea desarrollada por la fuerza neta que actúa sobre la partícula puede calcularse como derivada temporal de la energía cinética:
+El comportamiento en las proximidades de <math>x=0</math> lo da el coeficiente del término cuadrático.
-<center><math>
-P=\displaystyle\frac{dK}{dt}=-\,4\, m R^2\,\Omega^3\,\mathrm{sen}(\Omega t)
-</math></center>
-o bien puede calcularse también mediante el producto escalar de la fuerza neta por la velocidad: <math>\,P=\vec{F}\cdot\vec{v}=m\,\vec{a}\cdot\vec{v}\,</math>
-==¿Es un movimiento central con centro en el punto O?==
+Si <math>mg/kb < 1</math> este coeficiente es positivo y la energía potencial tiene un mínimo en <math>x=0</math>. Tenemos entonces un solo punto de equilibrio que además es de equilibrio estable.
-La partícula tendría un movimiento central con centro en el origen de coordenadas <math>O\,</math> si la fuerza neta que actúa sobre ella fuese paralela al vector de posición (<math>\vec{F}=m\,\vec{a}\,\parallel\,\vec{r}=\rho\,\vec{u}_{\rho}\,</math>), es decir, si la componente acimutal de la aceleración fuese cero en todo instante de tiempo. Es evidente que en el presente ejercicio esto no se cumple, ya que dicha componente tiene el siguiente valor:
-<center><math>
-a_{\theta}=-\,4R\,\Omega^2\mathrm{sen}(\Omega t)\,\neq\,0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{no}\,\,\mathrm{es}\,\,\mathrm{movimiento}\,\,\mathrm{central}\,\,\mathrm{con}\,\,\mathrm{centro}\,\,\mathrm{en}\,\, O
-</math></center>
-Otra forma de comprobarlo es calculando la velocidad areolar respecto al punto <math>O\,</math>, la cual tendría que ser constante en el tiempo para que el movimiento fuese central con centro en <math>O\,</math>. En este caso no es constante:
+Si <math>mg/kb > 1</math> el coeficiente es negativo y la energía potencial tiene un máximo en <math>x=0</math>. El vértice de la parábola es ahora un punto de equilibrio inestable. Puesto que la energía crece para |x| grande, debe haber un mínimo a cada lado del vértice. Estos son los dos puntos de equilibrio estable situados simétricamente respecto al vértice.
-<center><math>
-V_{A}=\displaystyle\frac{1}{2}\,\rho^2\,\dot{\theta}=2\,R^2\,\Omega\,[1+\mathrm{cos}(\Omega t)]^2\,\neq\,\mathrm{cte}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\mathrm{no}\,\,\mathrm{es}\,\,\mathrm{movimiento}\,\,\mathrm{central}\,\,\mathrm{con}\,\,\mathrm{centro}\,\,\mathrm{en}\,\, O
-</math></center>
 [[Categoría:Problemas de Dinámica del Punto (GITI)]]

Buscar

Menú

Navegación

Perfil

Perfil

Mensajes

Herramientas de página

Diferencia entre las páginas «No Boletín - Ecuaciones horarias en coordenadas polares (Ex.Feb/14)» y «No Boletín - Equilibrio de partícula en parábola»

Secciones