Diferencia entre las páginas «No Boletín - Cuestión sobre integral primera II (Ex.Ene/15)» y «No Boletín - Equilibrio de partícula en parábola»

Revisión del 19:00 10 ene 2024

Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte de constante $k$ y longitud natural nula anclado en el punto ${\vec {r}}_{0}={\vec {0}}$ . La partícula está ensartada en la parábola $z=-x^{2}/(2b)$ .

Determine la(s) posición(es) de equilibrio de la masa sobre la parábola.
Calcule la fuerza de reacción vincular de la parábola sobre la partícula en la(s) posición(es) de equilibrio.
Trace la curva de la energía potencial como función de la coordenada $x$ y discuta la estabilidad de las posibles posiciones de equilibrio.

Equilibrio

La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de reacción vincular. En el equilibrio, la resultante debe ser nula

m{\vec {g}}-k{\vec {r}}+{\vec {\Phi }}={\vec {0}}

Junto a esta ecuación tenemos la del vínculo

z=-{\frac {x^{2}}{2b}}

Separando en las componentes cartesianas tenemos, para el peso

m{\vec {g}}=-mg{\vec {k}}

y para la fuerza elástica

-k{\vec {r}}=-kx{\vec {\imath }}-kz{\vec {k}}=-kx{\vec {\imath }}+{\frac {kx^{2}}{2b}}{\vec {k}}

La fuerza de reacción vincular va en la dirección normal a la parábola y contenida en el plano OXZ (pues no hay fuerzas activas en la dirección de OY). El vector tangente a la parábola

{\vec {r}}=x{\vec {\imath }}-{\frac {x^{2}}{2b}}{\vec {k}}

es

{\vec {T}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} x}{|\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} x|}}={\frac {{\vec {\imath }}-(x/b){\vec {k}}}{\sqrt {1+(x/b)^{2}}}}

El vector normal es el perpendicular a este

{\vec {N}}={\frac {(x/b){\vec {\imath }}+{\vec {k}}}{\sqrt {1+(x/b)^{2}}}}

La fuerza de reacción vincular es paralela a este vector, por lo que puede escribirse como

{\vec {\Phi }}=\lambda \left((x/b){\vec {\imath }}+{\vec {k}}\right)

Sustituyendo y separando en las componentes tenemos las ecuaciones

-kx+{\frac {\lambda x}{b}}=0

y

-mg+{\frac {kx^{2}}{2b}}+\lambda =0

donde las incógnitas son x (posición de equilibrio) y $\lambda$ , que da la intensidad de la fuerza de reacción vincular.

Este sistema admite, en cualquier caso, la solución

x=0\qquad \qquad \lambda =mg\qquad \qquad {\vec {\Phi }}=mg{\vec {k}}

En esta posición, situada en el vértice de la parábola, el resorte no ejerce fuerza alguna y la reacción es igual y opuesta al peso.

Si $x\neq 0$ tenemos

\lambda =kb

y sustituyendo en la segunda

x=\pm {\sqrt {{\frac {2b}{k}}(mg-kb)}}

La existencia o no de nuevas posiciones de reposo depende de la relación entre las distintas constantes. Si la masa es lo suficientemente grande como para que

{\frac {mg}{kb}}>1

Existen tres puntos de equilibrio, el del vértice y dos situados simétricamente a sus lados.

Si la masa es pequeña y esta combinación es menor que la unidad, el único punto de equilibrio es el del vértice.

Físicamente podemos ver que si la masa es grande, el peso es dominante y tira de la masa hacia abajo por la parábola, hasta que la fuerza recuperadora del resorte es capaz de retenerla. Si la masa es pequeña, la fuerza recuperadora es la dominante y la gravedad no es capaz de sacarla del equilibrio de la posición central.

Fuerza de reacción

Posición central

Según indicamos, en la posición central, la fuerza de reacción vincular compensa al peso

{\vec {\Phi }}=mg{\vec {k}}

Posiciones laterales

Si se da el caso de que existen las dos posiciones de equilibrio adicionales, la fuerza de reacción vincular en ellas vale

\lambda =kb\qquad \qquad {\vec {\Phi }}=\lambda {\frac {x}{b}}{\vec {\imath }}+\lambda {\vec {k}}=\pm kb{\sqrt {2\left({\frac {mg}{kb}}-1\right)}}{\vec {\imath }}+kb{\vec {k}}

Energía potencial

Puesto que la fuerza de reacción es normal, la energía potencial es la asociada a la gravedad y a la fuerza elástica

U=mgz+{\frac {k}{2}}(x^{2}+z^{2})=-{\frac {mgx^{2}}{2b}}+{\frac {k}{2}}\left(x^{2}+{\frac {x^{4}}{4b^{2}}}\right)={\frac {kb-mg}{2b}}x^{2}+{\frac {kx^{4}}{8b^{2}}}

La gráfica de esta función se caracteriza por que el exponente de mayor grado es par y su coeficiente es positivo, con lo que la función es creciente para $x\to \pm \infty$ . Tenemos lo que se llama un pozo de potencial.

El comportamiento en las proximidades de $x=0$ lo da el coeficiente del término cuadrático.

Si $mg/kb<1$ este coeficiente es positivo y la energía potencial tiene un mínimo en $x=0$ . Tenemos entonces un solo punto de equilibrio que además es de equilibrio estable.

Si $mg/kb>1$ el coeficiente es negativo y la energía potencial tiene un máximo en $x=0$ . El vértice de la parábola es ahora un punto de equilibrio inestable. Puesto que la energía crece para |x| grande, debe haber un mínimo a cada lado del vértice. Estos son los dos puntos de equilibrio estable situados simétricamente respecto al vértice.

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 ==Enunciado==
-[[Archivo:central-en-c.png|right]]
+Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte de constante <math>k</math> y longitud natural nula anclado en el punto <math>\vec{r}_0=\vec{0}</math>. La partícula está ensartada en la parábola <math>z = -x^2/(2b)</math>.
-Una partícula <math>P\,</math> de masa <math>m\,</math> se mueve en el plano <math>OXY\,</math>. Su trayectoria es la circunferencia de radio <math>R\,</math> y centro en el punto <math>O(0,0)\,</math>. La partícula soporta una única fuerza <math>\vec{F}\,</math>, cuya recta de acción pasa permanentemente por el punto <math>C(-R,0)\,</math>. Como parámetro descriptivo del movimiento, se utiliza el
+# Determine la(s) posición(es) de equilibrio de la masa sobre la parábola.
-ángulo <math>\theta(t)\,</math> de la figura, que satisface las condiciones iniciales <math>\theta(0)=0\,\,\,</math> y <math>\,\,\dot{\theta}(0)=\Omega\,</math>.
+# Calcule la fuerza de reacción vincular de la parábola sobre la partícula en la(s) posición(es) de equilibrio.
+# Trace la curva de la energía potencial como función de la coordenada <math>x</math> y discuta la estabilidad de las posibles posiciones de equilibrio.
-# Si <math>\vec{v}\,</math> es la velocidad instantánea de la partícula, ¿cuál de las siguientes magnitudes es una integral primera del movimiento de <math>P\,\,</math>? ('''NOTA''': sólo lo es una de las cuatro). <center><math>\mathrm{(a)}\,\,\,\, m\,\vec{v}\cdot\vec{v}/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(b)}\,\,\,\, \overrightarrow{OP}\times m\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(c)}\,\,\,\, \overrightarrow{CP}\times m\vec{v}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \mathrm{(d)}\,\,\,\, m\vec{v}</math></center>
+==Equilibrio==
-# A partir de la integral primera del apartado anterior, deduzca la relación existente entre <math>\dot{\theta}\,</math> y <math>\theta\,</math> durante el movimiento.
+La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle
+y la fuerza de reacción vincular. En el equilibrio, la resultante debe ser nula
-==Integral primera==
+<center><math>m\vec{g}-k\vec{r}+\vec{\Phi}=\vec{0}</math></center>
-Para saber cuál de las cuatro magnitudes propuestas es la que se conserva constante a lo largo del tiempo (integral primera), revisaremos los correspondientes teoremas de conservación hasta detectar cuál de ellos ve sus requisitos satisfechos en el caso que nos ocupa.
-Comenzaremos descartando la opción (d). Según el teorema de conservación de la cantidad de movimiento de una partícula, la magnitud <math>\vec{p}=m\vec{v}\,</math> sólo mantiene su valor constante en el tiempo si la fuerza neta que actúa sobre la partícula es nula. Pero esto no ocurre en el caso presente, ya que la fuerza <math>\vec{F}\,</math> (única existente) no es nula:
+Junto a esta ecuación tenemos la del vínculo
-<center><math>
-\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}\neq\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
+<center><math>z = -\frac{x^2}{2b}</math></center>
-\vec{p}=m\vec{v}\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
+Separando en las componentes cartesianas tenemos, para el peso
+<center><math>m\vec{g}=-mg\vec{k}</math></center>
+y para la fuerza elástica
+<center><math>-k\vec{r}=-kx\vec{\imath}-kz\vec{k}=-kx\vec{\imath}+\frac{kx^2}{2b}\vec{k}
 </math></center>
-Descartamos ahora la opción (a). Conforme al teorema de conservación de la energía cinética de una partícula, la magnitud <math>K=m\,\vec{v}\cdot\vec{v}/2\,</math> sólo mantiene su valor constante en el tiempo si el trabajo neto realizado sobre la partícula es nulo (<math>\delta W=0\,</math>). Sin embargo, la fuerza <math>\vec{F}\,</math> descrita en el enunciado no es ortogonal a la trayectoria de la partícula (no tiene dirección radial) y, por tanto, trabaja:
-<center><math>
+La fuerza de reacción vincular va en la dirección normal a la parábola y contenida en el
-dK=\delta W=\vec{F}\cdot d\vec{r}\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,K=m\,\vec{v}\cdot\vec{v}/2\neq\mathrm{cte}
+plano OXZ (pues no hay fuerzas activas en la dirección de OY). El vector tangente a la
+parábola
+<center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}-\frac{x^2}{2b}\vec{k}</math></center>
+es
+<center><math>\vec{T}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}x}{|\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}x|}=
+\frac{\vec{\imath}-(x/b)\vec{k}}{\sqrt{1+(x/b)^2}}</math></center>
+El vector normal es el perpendicular a este
+<center><math>\vec{N}=\frac{(x/b)\vec{\imath}+\vec{k}}{\sqrt{1+(x/b)^2}}</math></center>
+La fuerza de reacción vincular es paralela a este vector, por lo que puede escribirse
+como
+<center><math>\vec{\Phi}=\lambda\left((x/b)\vec{\imath}+\vec{k}\right)
 </math></center>
-Y descartamos también la opción (b). El teorema de conservación del momento cinético de una partícula respecto a un punto fijo establece que la magnitud <math>\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\times m\vec{v}\,</math> sólo mantiene su valor constante en el tiempo si es nulo el momento resultante <math>\vec{M}_O\,</math> de las fuerzas que actúan sobre la partícula. En el caso que nos ocupa, el momento <math>\overrightarrow{M}_O\,</math> es distinto de cero debido a que la recta de acción de la fuerza <math>\vec{F}\,</math> no pasa en general por el punto <math>O\,</math> (es decir, <math>\vec{F}\,</math> no es una fuerza central con centro en <math>O\,</math>):
-<center><math>
+Sustituyendo y separando en las componentes tenemos las ecuaciones
-\frac{d\vec{L}_O}{dt}=\overrightarrow{M}_O=\overrightarrow{OP}\,\times \vec{F}\neq\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
-\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\times m\vec{v}\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
+<center><math>-kx + \frac{\lambda x}{b} = 0
 </math></center>
-Descartadas ya tres opciones, sólo resta comprobar que la opción (c) es la correcta. Para ello, basta aplicar de nuevo el teorema de conservación del momento cinético de una partícula, pero referido esta vez al punto fijo <math>C\,</math>. La magnitud <math>\vec{L}_C=\overrightarrow{CP}\times m\vec{v}\,</math> sólo mantiene su valor constante en el tiempo si es nulo el momento resultante <math>\vec{M}_C\,</math> de las fuerzas que actúan sobre la partícula. Y así ocurre en efecto en el caso que nos ocupa, la fuerza <math>\vec{F}\,</math> tiene momento nulo respecto al punto <math>C\,</math> debido a que su recta de acción pasa permanentemente por dicho punto (es decir, <math>\vec{F}\,</math> es una fuerza central con centro en <math>C\,</math>):
-<center><math>
-\frac{d\vec{L}_C}{dt}=\overrightarrow{M}_C=\overrightarrow{CP}\,\times \vec{F}=\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
-\vec{L}_C=\overrightarrow{CP}\times m\vec{v}=\overrightarrow{\mathrm{cte}}
-</math></center>
-Por tanto, queda comprobado que, de las cuatro magnitudes que se propusieron en el enunciado, la única que necesariamente se conserva constante a lo largo del tiempo (integral primera) es el momento cinético de la partícula respecto al punto <math>C\,</math>, es decir, <math>\overrightarrow{CP}\times m\vec{v}\,</math>.
-==Relación existente entre <math>\dot{\theta}\,</math> y <math>\theta\,</math> durante el movimiento==
+y
-Una vez sabido que el momento cinético de la partícula respecto al punto <math>C\,</math> es una integral primera, procedemos a determinar su expresión en función de <math>\dot{\theta}\,</math> y <math>\theta\,</math>:
-<center><math>
+<center><math>-mg+\frac{kx^2}{2b}+\lambda = 0</math></center>
-\left.\begin{array}{l}
-\overrightarrow{OP}=\vec{r}=R\,[\,\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}\,\,]\,\,;\,\,\,\,\,\overrightarrow{OC}=-R\,\vec{\imath} \\ \\
+donde las incógnitas son x (posición de equilibrio) y <math>\lambda</math>, que da la intensidad de
-\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OC}=R\,\{[1+\mathrm{cos}(\theta)]\,\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\jmath}\,\} \\ \\
+la fuerza de reacción vincular.
-\vec{v}=\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\dot{\theta}\,\displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=R\,\dot{\theta}\,[-\,\mathrm{sen}(\theta)\,\vec{\imath}+\mathrm{cos}(\theta)\,\vec{\jmath}\,\,]
-\end{array}\right\}
+Este sistema admite, en cualquier caso, la solución
-\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,
-\overrightarrow{CP}\,\times\, m\vec{v}=mR^2\dot{\theta}\left|\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1+\mathrm{cos}(\theta) & \mathrm{sen}(\theta) & 0 \\ -\mathrm{sen}(\theta) & \mathrm{cos}(\theta) & 0 \end{array}\right|=mR^2\dot{\theta}\,[1+\,\mathrm{cos}(\theta)]\,\vec{k}
+<center><math>x=0\qquad\qquad\lambda=mg\qquad\qquad\vec{\Phi}=mg\vec{k}</math></center>
-</math></center>
-Y, a continuación, determinamos su valor constante a partir de las condiciones iniciales, lo cual nos permite a su vez deducir la relación existente entre <math>\dot{\theta}\,</math> y <math>\theta\,</math> durante el movimiento:
+En esta posición, situada en el vértice de la parábola, el resorte no ejerce fuerza
-<center><math>
+alguna y la reacción es igual y opuesta al peso.
-\left.\begin{array}{l}
-\theta(0)=0 \\
+Si <math>x \neq 0</math> tenemos
-\dot{\theta}(0)=\Omega
-\end{array}\right\}
+<center><math>\lambda = kb</math></center>
-\,\,\,\,\,\longrightarrow\,\,\,\,\,
-mR^2\dot{\theta}\,[1+\,\mathrm{cos}(\theta)]\,\vec{k}=mR^2\Omega\,[1+\,\mathrm{cos}(0)]\,\vec{k}=2\,mR^2\Omega\,\vec{k}
+y sustituyendo en la segunda
-\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\dot{\theta}\,[1+\,\mathrm{cos}(\theta)]=2\,\Omega\,\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\,\,\dot{\theta}=\frac{2\,\Omega}{1+\mathrm{cos}(\theta)}
-</math></center>
+<center><math>x =\pm \sqrt{\frac{2b}{k}(mg-kb)}</math></center>
+La existencia o no de nuevas posiciones de reposo depende de la relación entre las
+distintas constantes. Si la masa es lo suficientemente grande como para que
+<center><math>\frac{mg}{kb}>1</math></center>
+Existen tres puntos de equilibrio, el del vértice y dos situados simétricamente a sus
+lados.
+Si la masa es pequeña y esta combinación es menor que la unidad, el único punto de
+equilibrio es el del vértice.
+Físicamente podemos ver que si la masa es grande, el peso es dominante y tira de la masa
+hacia abajo por la parábola, hasta que la fuerza recuperadora del resorte es capaz de
+retenerla. Si la masa es pequeña, la fuerza recuperadora es la dominante y la gravedad no
+es capaz de sacarla del equilibrio de la posición central.
+==Fuerza de reacción==
+===Posición central===
+Según indicamos, en la posición central, la fuerza de reacción vincular compensa al peso
+<center><math>\vec{\Phi}=mg\vec{k}</math></center>
+===Posiciones laterales===
+Si se da el caso de que existen las dos posiciones de equilibrio adicionales, la fuerza
+de reacción vincular en ellas vale
+<center><math>\lambda = kb\qquad\qquad \vec{\Phi}=\lambda\frac{x}{b}\vec{\imath}+\lambda\vec{k}=
+\pm kb\sqrt{2\left(\frac{mg}{kb}-1\right)}\vec{\imath}+kb\vec{k}</math></center>
+==Energía potencial==
+[[Archivo:potencial-muelle-parabola.png|right]]
+Puesto que la fuerza de reacción es normal, la energía potencial es la asociada a la gravedad y a la fuerza elástica
+<center><math>U=mgz + \frac{k}{2}(x^2+z^2) =
+-\frac{mgx^2}{2b}+\frac{k}{2}\left(x^2+\frac{x^4}{4b^2}\right) = \frac{kb-mg}{2b}x^2 +
+\frac{kx^4}{8b^2}</math></center>
+La gráfica de esta función se caracteriza por que el exponente de mayor grado es par y su coeficiente es positivo, con lo que la función es creciente para <math>x\to\pm\infty</math>. Tenemos lo que se llama un ''pozo de potencial''.
+El comportamiento en las proximidades de <math>x=0</math> lo da el coeficiente del término cuadrático.
+Si <math>mg/kb < 1</math> este coeficiente es positivo y la energía potencial tiene un mínimo en <math>x=0</math>. Tenemos entonces un solo punto de equilibrio que además es de equilibrio estable.
+Si <math>mg/kb > 1</math> el coeficiente es negativo y la energía potencial tiene un máximo en <math>x=0</math>. El vértice de la parábola es ahora un punto de equilibrio inestable. Puesto que la energía crece para |x| grande, debe haber un mínimo a cada lado del vértice. Estos son los dos puntos de equilibrio estable situados simétricamente respecto al vértice.
 [[Categoría:Problemas de Dinámica del Punto (GITI)]]

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