Diferencia entre las páginas «No Boletín - Cuestión sobre integral primera (Ex.Ene/13)» y «No Boletín - Equilibrio de partícula en parábola»

Revisión del 19:00 10 ene 2024

Enunciado

Una partícula de masa $m$ se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte de constante $k$ y longitud natural nula anclado en el punto ${\vec {r}}_{0}={\vec {0}}$ . La partícula está ensartada en la parábola $z=-x^{2}/(2b)$ .

Determine la(s) posición(es) de equilibrio de la masa sobre la parábola.
Calcule la fuerza de reacción vincular de la parábola sobre la partícula en la(s) posición(es) de equilibrio.
Trace la curva de la energía potencial como función de la coordenada $x$ y discuta la estabilidad de las posibles posiciones de equilibrio.

Equilibrio

La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle y la fuerza de reacción vincular. En el equilibrio, la resultante debe ser nula

m{\vec {g}}-k{\vec {r}}+{\vec {\Phi }}={\vec {0}}

Junto a esta ecuación tenemos la del vínculo

z=-{\frac {x^{2}}{2b}}

Separando en las componentes cartesianas tenemos, para el peso

m{\vec {g}}=-mg{\vec {k}}

y para la fuerza elástica

-k{\vec {r}}=-kx{\vec {\imath }}-kz{\vec {k}}=-kx{\vec {\imath }}+{\frac {kx^{2}}{2b}}{\vec {k}}

La fuerza de reacción vincular va en la dirección normal a la parábola y contenida en el plano OXZ (pues no hay fuerzas activas en la dirección de OY). El vector tangente a la parábola

{\vec {r}}=x{\vec {\imath }}-{\frac {x^{2}}{2b}}{\vec {k}}

es

{\vec {T}}={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} x}{|\mathrm {d} {\vec {r}}/\mathrm {d} x|}}={\frac {{\vec {\imath }}-(x/b){\vec {k}}}{\sqrt {1+(x/b)^{2}}}}

El vector normal es el perpendicular a este

{\vec {N}}={\frac {(x/b){\vec {\imath }}+{\vec {k}}}{\sqrt {1+(x/b)^{2}}}}

La fuerza de reacción vincular es paralela a este vector, por lo que puede escribirse como

{\vec {\Phi }}=\lambda \left((x/b){\vec {\imath }}+{\vec {k}}\right)

Sustituyendo y separando en las componentes tenemos las ecuaciones

-kx+{\frac {\lambda x}{b}}=0

y

-mg+{\frac {kx^{2}}{2b}}+\lambda =0

donde las incógnitas son x (posición de equilibrio) y $\lambda$ , que da la intensidad de la fuerza de reacción vincular.

Este sistema admite, en cualquier caso, la solución

x=0\qquad \qquad \lambda =mg\qquad \qquad {\vec {\Phi }}=mg{\vec {k}}

En esta posición, situada en el vértice de la parábola, el resorte no ejerce fuerza alguna y la reacción es igual y opuesta al peso.

Si $x\neq 0$ tenemos

\lambda =kb

y sustituyendo en la segunda

x=\pm {\sqrt {{\frac {2b}{k}}(mg-kb)}}

La existencia o no de nuevas posiciones de reposo depende de la relación entre las distintas constantes. Si la masa es lo suficientemente grande como para que

{\frac {mg}{kb}}>1

Existen tres puntos de equilibrio, el del vértice y dos situados simétricamente a sus lados.

Si la masa es pequeña y esta combinación es menor que la unidad, el único punto de equilibrio es el del vértice.

Físicamente podemos ver que si la masa es grande, el peso es dominante y tira de la masa hacia abajo por la parábola, hasta que la fuerza recuperadora del resorte es capaz de retenerla. Si la masa es pequeña, la fuerza recuperadora es la dominante y la gravedad no es capaz de sacarla del equilibrio de la posición central.

Fuerza de reacción

Posición central

Según indicamos, en la posición central, la fuerza de reacción vincular compensa al peso

{\vec {\Phi }}=mg{\vec {k}}

Posiciones laterales

Si se da el caso de que existen las dos posiciones de equilibrio adicionales, la fuerza de reacción vincular en ellas vale

\lambda =kb\qquad \qquad {\vec {\Phi }}=\lambda {\frac {x}{b}}{\vec {\imath }}+\lambda {\vec {k}}=\pm kb{\sqrt {2\left({\frac {mg}{kb}}-1\right)}}{\vec {\imath }}+kb{\vec {k}}

Energía potencial

Puesto que la fuerza de reacción es normal, la energía potencial es la asociada a la gravedad y a la fuerza elástica

U=mgz+{\frac {k}{2}}(x^{2}+z^{2})=-{\frac {mgx^{2}}{2b}}+{\frac {k}{2}}\left(x^{2}+{\frac {x^{4}}{4b^{2}}}\right)={\frac {kb-mg}{2b}}x^{2}+{\frac {kx^{4}}{8b^{2}}}

La gráfica de esta función se caracteriza por que el exponente de mayor grado es par y su coeficiente es positivo, con lo que la función es creciente para $x\to \pm \infty$ . Tenemos lo que se llama un pozo de potencial.

El comportamiento en las proximidades de $x=0$ lo da el coeficiente del término cuadrático.

Si $mg/kb<1$ este coeficiente es positivo y la energía potencial tiene un mínimo en $x=0$ . Tenemos entonces un solo punto de equilibrio que además es de equilibrio estable.

Si $mg/kb>1$ el coeficiente es negativo y la energía potencial tiene un máximo en $x=0$ . El vértice de la parábola es ahora un punto de equilibrio inestable. Puesto que la energía crece para |x| grande, debe haber un mínimo a cada lado del vértice. Estos son los dos puntos de equilibrio estable situados simétricamente respecto al vértice.

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 ==Enunciado==
-[[Archivo:esfera.png|right]]
+Una partícula de masa <math>m</math> se encuentra sometida simultáneamente a su peso y a la fuerza atractiva de un resorte de constante <math>k</math> y longitud natural nula anclado en el punto <math>\vec{r}_0=\vec{0}</math>. La partícula está ensartada en la parábola <math>z = -x^2/(2b)</math>.
-En el sistema de referencia <math>OXYZ\,</math> de la figura, la partícula <math>P\,</math> se mueve bajo la acción de su propio peso y
+# Determine la(s) posición(es) de equilibrio de la masa sobre la parábola.
-vinculada sin rozamiento a una superficie esférica fija de radio <math>R\,</math> y centro en el punto <math>O\,</math> (la ecuación de ligadura es <math>x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}\,</math>).
+# Calcule la fuerza de reacción vincular de la parábola sobre la partícula en la(s) posición(es) de equilibrio.
+# Trace la curva de la energía potencial como función de la coordenada <math>x</math> y discuta la estabilidad de las posibles posiciones de equilibrio.
-¿Cuál de las siguientes magnitudes físicas de la partícula <math>P\,</math> se conserva necesariamente constante durante el movimiento? ('''NOTA''': sólo una de las cuatro opciones es correcta).
+==Equilibrio==
+La partícula se encuentra sometida a tres fuerzas: el peso, la fuerza elástica del muelle
+y la fuerza de reacción vincular. En el equilibrio, la resultante debe ser nula
-(a) La componente-<math>z\,</math> de su momento cinético respecto al punto <math>O\,</math>
+<center><math>m\vec{g}-k\vec{r}+\vec{\Phi}=\vec{0}</math></center>
-(b) Su cantidad de movimiento
+Junto a esta ecuación tenemos la del vínculo
-(c) Su energía cinética
+<center><math>z = -\frac{x^2}{2b}</math></center>
-(d) Su momento cinético respecto al punto <math>O\,</math>
+Separando en las componentes cartesianas tenemos, para el peso
-==Solución==
+<center><math>m\vec{g}=-mg\vec{k}</math></center>
-[[Archivo:esfera-sol.png|right]]
-Para saber cuál de las cuatro magnitudes propuestas es la que se conserva constante a lo largo del tiempo (integral primera), debemos examinar, en primer lugar, qué fuerzas actúan sobre la partícula y qué características tienen dichas fuerzas. Y, después, tendremos que ir revisando los teoremas de conservación asociados a las magnitudes propuestas hasta detectar cuál de ellos ve sus requisitos satisfechos en el caso que nos ocupa.
+y para la fuerza elástica
-Las fuerzas que actúan sobre la partícula son dos: el peso (<math>m\vec{g}\,</math>) y la fuerza de reacción vincular (<math>\vec{\Phi}\,</math>) ejercida por la superficie esférica.
+<center><math>-k\vec{r}=-kx\vec{\imath}-kz\vec{k}=-kx\vec{\imath}+\frac{kx^2}{2b}\vec{k}
+</math></center>
+La fuerza de reacción vincular va en la dirección normal a la parábola y contenida en el
+plano OXZ (pues no hay fuerzas activas en la dirección de OY). El vector tangente a la
+parábola
+<center><math>\vec{r}=x\vec{\imath}-\frac{x^2}{2b}\vec{k}</math></center>
+es
+<center><math>\vec{T}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}x}{|\mathrm{d}\vec{r}/\mathrm{d}x|}=
+\frac{\vec{\imath}-(x/b)\vec{k}}{\sqrt{1+(x/b)^2}}</math></center>
+El vector normal es el perpendicular a este
+<center><math>\vec{N}=\frac{(x/b)\vec{\imath}+\vec{k}}{\sqrt{1+(x/b)^2}}</math></center>
-El peso es una fuerza activa y, como tal, conocida a priori:
+La fuerza de reacción vincular es paralela a este vector, por lo que puede escribirse
-<center><math>
+como
-m\vec{g}=-mg\,\vec{k}
-</math></center>
-Sabemos, además, que el peso es una fuerza conservativa, y que va a realizar trabajo sobre la partícula porque en general la coordenada-<math>z\,</math> de ésta no va a permanecer constante durante su movimiento.
-En cuanto a la fuerza de reacción vincular <math>\vec{\Phi}\,</math>, no conocemos a priori su módulo ni su sentido, pero sabemos que su dirección ha de ser perpendicular a la superficie esférica (al ser ésta un vínculo liso o sin rozamiento) y, por tanto, es radial. La expresaremos así:
+<center><math>\vec{\Phi}=\lambda\left((x/b)\vec{\imath}+\vec{k}\right)
-<center><math>
-\vec{\Phi}=\lambda\,\overrightarrow{OP}=\lambda\,(x\,\vec{\imath}+y\,\vec{\jmath}+z\,\vec{k}\,)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm{(}\lambda=\,\mathrm{incognita}\,\,\mathrm{escalar}\,\mathrm{)}
-</math></center>
-También sabemos que <math>\vec{\Phi}\,</math> es una fuerza que no va a realizar trabajo, ya que el vínculo -además de liso- es esclerónomo o fijo y, por tanto, la trayectoria de la partícula va a ser siempre perpendicular a <math>\vec{\Phi}\,</math>. En efecto:
-<center><math>
-\vec{\Phi}\,\cdot\,d\vec{r}=\lambda\,(x\,\vec{\imath}\,+\,y\,\vec{\jmath}\,+\,z\,\vec{k}\,)\,\cdot\,(dx\,\vec{\imath}\,+\,dy\,\vec{\jmath}\,+\,dz\,\vec{k}\,)=\lambda\,(x\, dx\,+\,y\, dy\,+\,z\, dz)=\frac{\lambda}{2}\,d(x^{2}+y^{2}+z^{2})=\frac{\lambda}{2}\,d(R^{2})=0
 </math></center>
-==Descartando la opción (b)==
+Sustituyendo y separando en las componentes tenemos las ecuaciones
-Según el correspondiente teorema de conservación, la cantidad de movimiento <math>\vec{p}\,</math> de la partícula se conservaría constante si y sólo si la fuerza neta <math>\vec{F}\,</math> que actúa sobre la partícula fuese nula. Pero esto no ocurre aquí, ya que <math>\vec{\Phi}\,</math> (de dirección radial) y <math>m\vec{g}\,</math> (de dirección vertical) no pueden en general cancelarse mutuamente. En efecto:
-<center><math>
+<center><math>-kx + \frac{\lambda x}{b} = 0
-\frac{d\vec{p}}{dt}=\vec{F}=m\vec{g}+\vec{\Phi}=\lambda\,x\,\vec{\imath}+\lambda\,y\,\vec{\jmath}+(\lambda\,z-mg)\,\vec{k}\neq\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
-\vec{p}\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
 </math></center>
-'''Nota''': Obsérvese que, dada una posición arbitraria de la partícula sobre la esfera, no existe ninguna solución en <math>\lambda\,</math> para la cual se anulen simultáneamente las tres componentes de <math>\vec{F}\,</math>.
-==Descartando la opción (c)==
+y
-Conforme al correspondiente teorema de conservación, para que se conservase constante la energía cinética <math>K\,</math> de la partícula sería necesario y suficiente que no se realizase trabajo neto sobre la partícula (<math>\delta W=0\,</math>). Sin embargo, en el caso que nos ocupa, si bien es cierto que <math>\vec{\Phi}\,</math> no trabaja, el peso sí que trabaja puesto que la coordenada-<math>z\,</math> de la partícula es variable (<math>dz\neq 0\,</math>). En efecto:
-<center><math>
+<center><math>-mg+\frac{kx^2}{2b}+\lambda = 0</math></center>
-dK=\delta W=\vec{F}\,\cdot\, d\vec{r}=(m\vec{g}\,+\,\vec{\Phi})\,\cdot\, d\vec{r}=m\vec{g}\,\cdot\, d\vec{r}\,+\,\underbrace{\vec{\Phi}\cdot d\vec{r}}_{=0}=-mg\,\vec{k}\,\cdot\,(dx\,\vec{\imath}\,+\,dy\,\vec{\jmath}\,+\,dz\,\vec{k}\,)=-mg\,dz\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,K\neq\mathrm{cte}
-</math></center>
+donde las incógnitas son x (posición de equilibrio) y <math>\lambda</math>, que da la intensidad de
+la fuerza de reacción vincular.
+Este sistema admite, en cualquier caso, la solución
+<center><math>x=0\qquad\qquad\lambda=mg\qquad\qquad\vec{\Phi}=mg\vec{k}</math></center>
+En esta posición, situada en el vértice de la parábola, el resorte no ejerce fuerza
+alguna y la reacción es igual y opuesta al peso.
+Si <math>x \neq 0</math> tenemos
+<center><math>\lambda = kb</math></center>
+y sustituyendo en la segunda
+<center><math>x =\pm \sqrt{\frac{2b}{k}(mg-kb)}</math></center>
+La existencia o no de nuevas posiciones de reposo depende de la relación entre las
+distintas constantes. Si la masa es lo suficientemente grande como para que
+<center><math>\frac{mg}{kb}>1</math></center>
+Existen tres puntos de equilibrio, el del vértice y dos situados simétricamente a sus
+lados.
+Si la masa es pequeña y esta combinación es menor que la unidad, el único punto de
+equilibrio es el del vértice.
+Físicamente podemos ver que si la masa es grande, el peso es dominante y tira de la masa
+hacia abajo por la parábola, hasta que la fuerza recuperadora del resorte es capaz de
+retenerla. Si la masa es pequeña, la fuerza recuperadora es la dominante y la gravedad no
+es capaz de sacarla del equilibrio de la posición central.
+==Fuerza de reacción==
+===Posición central===
+Según indicamos, en la posición central, la fuerza de reacción vincular compensa al peso
+<center><math>\vec{\Phi}=mg\vec{k}</math></center>
+===Posiciones laterales===
+Si se da el caso de que existen las dos posiciones de equilibrio adicionales, la fuerza
+de reacción vincular en ellas vale
+<center><math>\lambda = kb\qquad\qquad \vec{\Phi}=\lambda\frac{x}{b}\vec{\imath}+\lambda\vec{k}=
+\pm kb\sqrt{2\left(\frac{mg}{kb}-1\right)}\vec{\imath}+kb\vec{k}</math></center>
+==Energía potencial==
+[[Archivo:potencial-muelle-parabola.png|right]]
+Puesto que la fuerza de reacción es normal, la energía potencial es la asociada a la gravedad y a la fuerza elástica
-==Descartando la opción (d)==
+<center><math>U=mgz + \frac{k}{2}(x^2+z^2) =
-El teorema de conservación del momento cinético <math>\vec{L}_O\,</math> de una partícula establece que dicha magnitud se conserva constante en el tiempo si y sólo si es nulo el momento resultante <math>\vec{M}_O\,</math> de las fuerzas que actúan sobre la partícula. En el caso que nos ocupa, <math>\vec{\Phi}\,</math> tiene momento nulo respecto a <math>O\,</math> debido a su dirección radial. Pero, sin embargo, el momento (respecto a <math>O\,</math>) del peso es distinto de cero en general. En efecto:
+-\frac{mgx^2}{2b}+\frac{k}{2}\left(x^2+\frac{x^4}{4b^2}\right) = \frac{kb-mg}{2b}x^2 +
-<center><math>
+\frac{kx^4}{8b^2}</math></center>
-\frac{d\vec{L}_O}{dt}=\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}\,\times \vec{F}=\overrightarrow{OP}\,\times\,(m\vec{g}\,+\,\vec{\Phi}\,)=\overrightarrow{OP}\,\times (-mg\,\vec{k}\,)\,+\,\underbrace{\overrightarrow{OP}\times\lambda\,\overrightarrow{OP}}_{=\vec{0}}=mg\,(-y\,\vec{\imath}\,+\,x\,\vec{\jmath}\,)\neq\vec{0}\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
-\vec{L}_O\neq\overrightarrow{\mathrm{cte}}
-</math></center>
-==Eligiendo la opción (a)==
+La gráfica de esta función se caracteriza por que el exponente de mayor grado es par y su coeficiente es positivo, con lo que la función es creciente para <math>x\to\pm\infty</math>. Tenemos lo que se llama un ''pozo de potencial''.
-Descartadas ya tres opciones, sólo resta comprobar que la opción (a) es la correcta. ¿Qué hace falta, según el correspondiente teorema de conservación, para que se conserve constante la componente-<math>z\,</math> de <math>\vec{L}_O\,</math>? Respuesta: hace falta la nulidad de la componente-<math>z\,</math> de <math>\vec{M}_O\,</math>.
-Multiplicando escalarmente la expresión ya obtenida de <math>\vec{M}_O\,</math> por <math>\vec{k}\,</math>, obtendremos la componente-<math>z\,</math> de dicho vector. Aunque, en realidad, basta observar la expresión de <math>\vec{M}_O\,</math> para darse cuenta de que es nula su componente-<math>z\,</math>. En efecto:
+El comportamiento en las proximidades de <math>x=0</math> lo da el coeficiente del término cuadrático.
-<center><math>
-\frac{d(\vec{k}\cdot\vec{L}_O)}{dt}=\vec{k}\cdot\vec{M}_O=\vec{k}\,\cdot\, mg\,(-y\,\vec{\imath}\,+\,x\,\vec{\jmath}\,)=0\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,
-\vec{k}\cdot\vec{L}_O=\mathrm{cte}
-</math></center>
-Por tanto, queda comprobado que, de las cuatro magnitudes que se propusieron en el enunciado, la única que necesariamente se conserva constante a lo largo del tiempo (integral primera) es la componente-<math>z\,</math> del momento cinético de la partícula respecto al punto <math>O\,</math>.
-==Conservación de la energía mecánica==
+Si <math>mg/kb < 1</math> este coeficiente es positivo y la energía potencial tiene un mínimo en <math>x=0</math>. Tenemos entonces un solo punto de equilibrio que además es de equilibrio estable.
-En la situación planteada, cabe señalar que el movimiento de la partícula tiene otra integral primera además de la ya determinada. Lo que ocurre es que esa otra integral primera no estaba entre las cuatro opciones que se propusieron en el enunciado. Se trata de la energía mecánica de la partícula (suma de la energía cinética y la energía potencial asociada al peso). Se cumple la condición establecida por el correspondiente teorema de conservación: que todas las fuerzas que trabajen sobre la partícula sean conservativas (aquí sólo trabaja el peso, que es en efecto conservativo). Así pues, la energía mecánica de la partícula también se conserva constante a lo largo del tiempo.
-De hecho, en un examen posterior (Septiembre/2014) se propuso una sutil variante de esta misma cuestión, en la cual sólo se modificaron dos elementos: se sustituyó la opción-respuesta "Su energía cinética" por "Su energía mecánica", y se cambió la orientación del sistema de referencia OXYZ de modo que el eje OY pasó a ser el eje vertical (paralelo a la gravedad) en lugar del eje OZ. Obviamente, la respuesta correcta en esta variante de la cuestión pasó a ser "Su energía mecánica". Muchos alumnos, sin embargo, guiados por su "memoria" y por su falta de atención a los detalles, creyeron que la componente-z del momento cinético respecto al punto O se conservaba constante, lo cual no era cierto porque el cambio de eje vertical conllevaba que ahora se conservase constante la componente-y (en lugar de la componente-z) del citado momento cinético.
+Si <math>mg/kb > 1</math> el coeficiente es negativo y la energía potencial tiene un máximo en <math>x=0</math>. El vértice de la parábola es ahora un punto de equilibrio inestable. Puesto que la energía crece para |x| grande, debe haber un mínimo a cada lado del vértice. Estos son los dos puntos de equilibrio estable situados simétricamente respecto al vértice.
 [[Categoría:Problemas de Dinámica del Punto (GITI)]]

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