No Boletín - Cuestión sobre integral primera II (Ex.Ene/15)

Enunciado

Una anilla, de dimensiones despreciables (considérese puntual) y de masa $2\,\,\mathrm {kg} \,$, desliza sin rozamiento a lo largo de un alambre rectilíneo en el que se halla ensartada. En cierto instante, se ha representado gráficamente la posición de la anilla, así como su aceleración ($\,{\vec {a}}\,\,$) y todas las fuerzas activas que soporta (${\vec {F}}_{1}\,$ y ${\vec {F}}_{2}\,$). Sin embargo, se ha dejado sin representar la fuerza de reacción vincular (${\vec {\Phi }}\,$) que ejerce el alambre liso sobre la anilla. La cuadrícula de los diagramas corresponde a la unidad en el SI (Sistema Internacional) de cada magnitud vectorial.

¿Cuál de los siguientes diagramas es el correcto?

Solución

Al deslizar a lo largo del alambre, la anilla realiza un movimiento rectilíneo, siendo sus vectores velocidad y aceleración necesariamente paralelos al propio alambre en todo instante. Así pues, se detecta a simple vista que el diagrama (3) es incorrecto por presentar un vector aceleración no paralelo al alambre.

Por otra parte, dice el enunciado que la única fuerza no representada en los diagramas es la fuerza de reacción vincular ${\vec {\Phi }}\,$ ejercida por el alambre sobre la anilla. Pero esa fuerza vincular está relacionada con las fuerzas activas (sí representadas), y con la masa y la aceleración de la partícula, mediante la segunda ley de Newton:

${\vec {F}}_{1}\,+\,{\vec {F}}_{2}\,+\,{\vec {\Phi }}=m{\vec {a}}$

Dado que no existe rozamiento entre la anilla y el alambre (vínculo liso), sabemos que ${\vec {\Phi }}\,$ no tiene componente paralela al alambre. Por tanto, si definimos un eje OX en la dirección longitudinal del alambre (sentido hacia la derecha) y proyectamos la ecuación de la segunda ley de Newton sobre dicho eje (multiplicándola escalarmente por el vector ${\vec {\imath }}\,$), lograremos que la fuerza de reacción vincular desaparezca:

${\vec {F}}_{1}\,\cdot {\vec {\imath }}\,+\,{\vec {F}}_{2}\,\cdot {\vec {\imath }}\,+\,\underbrace {{\vec {\Phi }}\,\cdot {\vec {\imath }}} _{=0}=m{\vec {a}}\,\cdot {\vec {\imath }}\,\,\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,\,\,F_{1x}\,+\,F_{2x}=ma_{x}$

La masa de la anilla es $m=2\,\,\mathrm {kg} \,$, y la cuadrícula de los diagramas nos permite conocer los valores numéricos de las componentes-x de los vectores representados. Así que podemos determinar cuál es el diagrama correcto (de entre los aún no descartados) comprobando en cuál de ellos se verifica la ecuación $F_{1x}\,+\,F_{2x}=ma_{x}\,$:

${\begin{array}{lll}\mathrm {diagrama} \,\,1\,\,(\,F_{1x}=3\,\mathrm {N} \,,\,\,\,F_{2x}=1\,\mathrm {N} \,,\,\,\,a_{x}=3\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,,\,\,\,ma_{x}=6\,\mathrm {N} \,)&\,\,\longrightarrow \,\,&F_{1x}+F_{2x}=(\,3+1\,)\,\mathrm {N} \neq 6\,\mathrm {N} =ma_{x}\\\\\mathrm {diagrama} \,\,2\,\,(\,F_{1x}=4\,\mathrm {N} \,,\,\,\,F_{2x}=-\,2\,\mathrm {N} \,,\,\,\,a_{x}=2\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,,\,\,\,ma_{x}=4\,\mathrm {N} \,)&\,\,\longrightarrow \,\,&F_{1x}+F_{2x}=(\,4-2\,)\,\mathrm {N} \neq 4\,\mathrm {N} =ma_{x}\\\\\mathrm {diagrama} \,\,4\,\,(\,F_{1x}=0\,\mathrm {N} \,,\,\,\,F_{2x}=-\,4\,\mathrm {N} \,,\,\,\,a_{x}=-\,2\,\mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}\,,\,\,\,ma_{x}=-\,4\,\mathrm {N} \,)&\,\,\longrightarrow \,\,&F_{1x}+F_{2x}=(\,0-4\,)\,\mathrm {N} =-\,4\,\mathrm {N} =ma_{x}\end{array}}$

Concluimos que el diagrama (4) es el correcto.