No Boletín - Cuestión sobre integral primera (Ex.Ene/13)

Enunciado

Una partícula $P\,$ de masa $m\,$ se mueve en el plano $OXY\,$. Su trayectoria es la circunferencia de radio $R\,$ y centro en el punto $O(0,0)\,$. La partícula soporta una única fuerza ${\vec {F}}\,$, cuya recta de acción pasa permanentemente por el punto $C(-R,0)\,$. Como parámetro descriptivo del movimiento, se utiliza el ángulo $\theta (t)\,$ de la figura, que satisface las condiciones iniciales $\theta (0)=0\,\,\,$ y $\,\,{\dot {\theta }}(0)=\Omega \,$.

1. Si ${\vec {v}}\,$ es la velocidad instantánea de la partícula, ¿cuál de las siguientes magnitudes es una integral primera del movimiento de $P\,\,$? (NOTA: sólo lo es una de las cuatro). $\mathrm {(a)} \,\,\,\,m\,{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}/2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(b)} \,\,\,\,{\overrightarrow {OP}}\times m{\vec {v}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(c)} \,\,\,\,{\overrightarrow {CP}}\times m{\vec {v}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\mathrm {(d)} \,\,\,\,m{\vec {v}}$
2. A partir de la integral primera del apartado anterior, deduzca la relación existente entre ${\dot {\theta }}\,$ y $\theta \,$ durante el movimiento.

Integral primera

Para saber cuál de las cuatro magnitudes propuestas es la que se conserva constante a lo largo del tiempo (integral primera), revisaremos los correspondientes teoremas de conservación hasta detectar cuál de ellos ve sus requisitos satisfechos en el caso que nos ocupa.

Comenzaremos descartando la opción (d). Según el teorema de conservación de la cantidad de movimiento de una partícula, la magnitud ${\vec {p}}=m{\vec {v}}\,$ sólo mantiene su valor constante en el tiempo si la fuerza neta que actúa sobre la partícula es nula. Pero esto no ocurre en el caso presente, ya que la fuerza ${\vec {F}}\,$ (única existente) no es nula:

${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\vec {F}}\neq {\vec {0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {p}}=m{\vec {v}}\neq {\overrightarrow {\mathrm {cte} }}$

Descartamos ahora la opción (a). Conforme al teorema de conservación de la energía cinética de una partícula, la magnitud $K=m\,{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}/2\,$ sólo mantiene su valor constante en el tiempo si el trabajo neto realizado sobre la partícula es nulo ($\delta W=0\,$). Sin embargo, la fuerza ${\vec {F}}\,$ descrita en el enunciado no es ortogonal a la trayectoria de la partícula (no tiene dirección radial) y, por tanto, trabaja:

$dK=\delta W={\vec {F}}\cdot d{\vec {r}}\neq 0\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,K=m\,{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}/2\neq \mathrm {cte}$

Y descartamos también la opción (b). El teorema de conservación del momento cinético de una partícula respecto a un punto fijo establece que la magnitud ${\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times m{\vec {v}}\,$ sólo mantiene su valor constante en el tiempo si es nulo el momento resultante ${\vec {M}}_{O}\,$ de las fuerzas que actúan sobre la partícula. En el caso que nos ocupa, el momento ${\overrightarrow {M}}_{O}\,$ es distinto de cero debido a que la recta de acción de la fuerza ${\vec {F}}\,$ no pasa en general por el punto $O\,$ (es decir, ${\vec {F}}\,$ no es una fuerza central con centro en $O\,$):

${\frac {d{\vec {L}}_{O}}{dt}}={\overrightarrow {M}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\,\times {\vec {F}}\neq {\vec {0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {L}}_{O}={\overrightarrow {OP}}\times m{\vec {v}}\neq {\overrightarrow {\mathrm {cte} }}$

Descartadas ya tres opciones, sólo resta comprobar que la opción (c) es la correcta. Para ello, basta aplicar de nuevo el teorema de conservación del momento cinético de una partícula, pero referido esta vez al punto fijo $C\,$. La magnitud ${\vec {L}}_{C}={\overrightarrow {CP}}\times m{\vec {v}}\,$ sólo mantiene su valor constante en el tiempo si es nulo el momento resultante ${\vec {M}}_{C}\,$ de las fuerzas que actúan sobre la partícula. Y así ocurre en efecto en el caso que nos ocupa, la fuerza ${\vec {F}}\,$ tiene momento nulo respecto al punto $C\,$ debido a que su recta de acción pasa permanentemente por dicho punto (es decir, ${\vec {F}}\,$ es una fuerza central con centro en $C\,$):

${\frac {d{\vec {L}}_{C}}{dt}}={\overrightarrow {M}}_{C}={\overrightarrow {CP}}\,\times {\vec {F}}={\vec {0}}\,\,\,\,\,\Longrightarrow \,\,\,\,\,{\vec {L}}_{C}={\overrightarrow {CP}}\times m{\vec {v}}={\overrightarrow {\mathrm {cte} }}$

Por tanto, queda comprobado que, de las cuatro magnitudes que se propusieron en el enunciado, la única que necesariamente se conserva constante a lo largo del tiempo (integral primera) es el momento cinético de la partícula respecto al punto $C\,$, es decir, ${\overrightarrow {CP}}\times m{\vec {v}}\,$.

Relación existente entre ${\dot {\theta }}\,$ y $\theta \,$ durante el movimiento

Una vez sabido que el momento cinético de la partícula respecto al punto $C\,$ es una integral primera, procedemos a determinar su expresión en función de ${\dot {\theta }}\,$ y $\theta \,$:

$\left.{\begin{array}{l}{\overrightarrow {OP}}={\vec {r}}=R\,[\,\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]\,\,;\,\,\,\,\,{\overrightarrow {OC}}=-R\,{\vec {\imath }}\\\\{\overrightarrow {CP}}={\overrightarrow {OP}}-{\overrightarrow {OC}}=R\,\{[1+\mathrm {cos} (\theta )]\,{\vec {\imath }}+\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\}\\\\{\vec {v}}=\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}={\dot {\theta }}\,\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} \theta }}=R\,{\dot {\theta }}\,[-\,\mathrm {sen} (\theta )\,{\vec {\imath }}+\mathrm {cos} (\theta )\,{\vec {\jmath }}\,\,]\end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,{\overrightarrow {CP}}\,\times \,m{\vec {v}}=mR^{2}{\dot {\theta }}\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\1+\mathrm {cos} (\theta )&\mathrm {sen} (\theta )&0\\-\mathrm {sen} (\theta )&\mathrm {cos} (\theta )&0\end{array}}\right|=mR^{2}{\dot {\theta }}\,[1+\,\mathrm {cos} (\theta )]\,{\vec {k}}$

Y, a continuación, determinamos su valor constante a partir de las condiciones iniciales, lo cual nos permite a su vez deducir la relación existente entre ${\dot {\theta }}\,$ y $\theta \,$ durante el movimiento:

$\left.{\begin{array}{l}\theta (0)=0\\{\dot {\theta }}(0)=\Omega \end{array}}\right\}\,\,\,\,\,\longrightarrow \,\,\,\,\,mR^{2}{\dot {\theta }}\,[1+\,\mathrm {cos} (\theta )]\,{\vec {k}}=mR^{2}\Omega \,[1+\,\mathrm {cos} (0)]\,{\vec {k}}=2\,mR^{2}\Omega \,{\vec {k}}\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\dot {\theta }}\,[1+\,\mathrm {cos} (\theta )]=2\,\Omega \,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,{\dot {\theta }}={\frac {2\,\Omega }{1+\mathrm {cos} (\theta )}}$