Enunciado

Usando el álgebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en ángulo recto.

Solución

Nombramos los vértices del rombo , , , , como se indica en la figura. Recorriendo el rombo en sentido horario, tenemos los vectores

Al ser un rombo los lados opuestos tienen la misma longitud y los vértices opuestos el mismo ángulo. La condición para los vectores es

Las diagonales pueden calcularse como la suma vectorial de los vectores de los lados

El producto escalar de los vectores de las diagonales es

Sustituyendo la primera igualdad de la segunda serie de ecuaciones tenemos

El primer y el último término se anulan pues el producto escalar es conmutativo. Los otros dos términos son el producto escalar de un vector por si mismo, es decir

Pero el módulo de esos vectores es precisamente la longitud del lado del rombo. Por tanto