Enunciado

Dos masas iguales de peso situadas sobre dos planos inclinados contiguos, de las dimensiones mostradas en la figura. Las dimensiones son tales que el ángulo en O es recto.

Las masas están unidas por un resorte ideal de longitud natural nula y constante . No hay rozamiento con las superficies.

  1. Determine la posición de equilibrio de las dos masas, hallando los valores de e .
  2. Para esta posición de equilibrio, calcule las fuerzas de reacción ejercidas por los planos, así como la fuerza elástica que el resorte ejerce sobre cada masa.
  3. Determine las ecuaciones de movimiento para las dos masas.

Posición de equilibrio

Por estar en equilibrio, la suma de las fuerzas sobre cada masa debe anularse.

Si llamamos masa “1” a la de la izquierda tenemos que las fuerzas que actúan sobre ella son:

Peso
que en los ejes indicados valen
con
lo que da el valor numérico
Fuerza elástica
Cuando la longitud natural de un resorte es nula, la fuerza elástica que produce la da la ley de Hooke vectorial es proporcional al vector de posición relativa. Si queremos hallar la fuerza en el extremo A, hallándose el otro extremo en el punto B
siendo el vector que va desde el extremo B del muelle hasta el A, que ocupa la partícula 1. En este caso sería
Restando
y por tanto
Reacción normal del plano
Esta es perpendicular al plano y va en el sentido hacia afuera

Sumando las tres fuerzas

y separando en componentes

De aquí obtenemos de forma inmediata el valor de en el equilibrio

Para obtener el valor de y hacemos el cálculo análogo para la segunda masa. Para esta

Peso
Al igual que antes
Fuerza elástica
Aplicando el mismo razonamiento para esta masa o simplemente por la tercera ley de Newton
Reacción normal del plano
Esta es perpendicular al segundo plano

Sumando estas tres fuerzas

que separando en componentes da

que nos da el valor de en el equilibrio

siendo la longitud del muelle

Fuerzas de reacción

Una vez que tenemos x e y obtenemos las fuerzas normales

y

En forma vectorial

Cuando la figura se realiza correctamente a escala vemos que efectivamente el resorte no queda en una posición horizontal y que para cada masa, la suma vectorial de las tres fuerzas aplicadas es nula.

Ecuaciones de movimiento

Las ecuaciones de movimiento son inmediatas, ya que los desplazamientos son a lo largo de los planos, por lo que tenemos, para la masa 1

Definimos la elongación como la diferencia respecto a la posición de equilibrio calculada antes

y resulta la ecuación del oscilador armónico

Por tanto, la masa 1 realiza oscilaciones de frecuencia alrededor de la posición de equilibrio.

Para la segunda masa el resultado es idéntico

Definimos

y resulta la misma ecuación del oscilador armónico

Las dos masas oscilan con la misma frecuencia, pero indpendientemente la una de la otra.