Sin resumen de edición
 
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==Enunciado==
Ya a la venta:
Dos masas A y B, de masas <math>m_A=0.35\,\mathrm{kg}</math> y <math>m_B=0.65\,\mathrm{kg}</math> están unidas por un hilo ideal (“1”), inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin masa ni rozamiento. La masa A está unida al suelo por un resorte de constante <math>k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}</math> y longitud natural <math>\ell_0=10\,cm</math>. La B se mantiene a la misma altura que la primera mediante otro hilo ideal (“2”) de 15&thinsp;cm de longitud. El sistema está inicialmente en equilibrio.
<center>[[Archivo:Maquina-atwood-muelle.png|200px]]</center>
# ¿Cuánto vale la tensión de cada hilo?
# Suponga que se corta el hilo 2.
## ¿Cuánto vale la aceleración de cada masa justo tras el corte? ¿Y la tensión del hilo 1?
## ¿Cuánto mide la amplitud de las oscilaciones que describen las masas?
## ¿Cuál es la frecuencia ω de las oscilaciones que describe el sistema?
## Cuando el sistema está oscilando, ¿cuánto vale la tensión mínima del hilo? ¿Puede llegar a destensarse?
Tómese <math>g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>.


==Tensiones==
[[Archivo:portada.jpg|266px]]
El equilibrio para la masa de la derecha da


<center><math>F_{T1}-m_Bg-F_{T2}=0\,</math></center>
''[https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720177/fisica-general-mecanica Física general: Mecánica]'', de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.


y para la de la izquierda
==Programa==
#Conocimientos previos
## [[Tabla de fórmulas de trigonometría]]
## [[Tabla de derivadas y primitivas]]
## [[Tabla de fórmulas de variable compleja]]
#Introducción a la física
<!--
## [[Modelos y teorías físicas. El método científico]]
## [[Dimensiones y unidades (GIOI)|Dimensiones y unidades]]
## [[Medidas, estimaciones e incertidumbres]]
-->
## [[Problemas_de_introducción_a_la_física_(GIOI)|Problemas]]
#Cinemática de la partícula (I)
<!--
## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIOI)|En una dimensión]]
### [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIOI)|Definiciones y propiedades]]
### [[Casos particulares de movimiento rectilíneo (GIOI)|Casos particulares de movimiento rectilíneo]]
-->
## [[Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIOI)|Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]
# Herramientas matemáticas
<!--
## Vectores en física. Definiciones y operaciones
## Vectores en física. Coordenadas y componentes
-->
## [[Problemas_de_herramientas_matemáticas_(GIOI)|Problemas]]
#Cinemática de la partícula (II)
<!--
## En dos y tres dimensiones
### Posición, trayectoria y ley horaria
### Velocidad y aceleración
### Casos particulares de movimiento tridimensional
-->
## [[Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIOI)|Problemas de cinemática tridimensional]]
# Principios de la dinámica
<!--
## [[Leyes de Newton (GIOI)|Leyes de Newton]]
## [[Análisis de problemas de dinámica (GIOI)|Análisis de problemas en dinámica]]
## [[Aplicaciones de las leyes de Newton (GIOI)| Aplicaciones de las leyes de Newton]]
### [[Movimiento de una partícula por acción de la gravedad (GIOI)|Movimiento de una partícula por acción de la gravedad]]
### [[Dinámica del oscilador armónico (GIOI)|Dinámica del oscilador armónico]]
### [[Movimiento sobre curvas y superficies (GIOI)|Movimiento sobre curvas y superficies]]
### [[Péndulos e hilos (GIOI)|Péndulos e hilos]]
### [[Fuerzas de rozamiento (GIOI)|Fuerzas de rozamiento]]
## [[Estática_de_la_partícula_(GIOI)|Estática de la partícula]]
## [[Fuerzas ficticias (GIOI)|Fuerzas ficticias]]
-->
## [[Problemas de dinámica de la partícula (GIOI)|Problemas]]
# Energía y leyes de conservación
<!--
## [[Cantidad de movimiento y momento cinético (GIOI)|Cantidad de movimiento y momento cinético]]
## [[Trabajo y energía (GIOI)|Trabajo y energía cinética]]
## [[Trabajo_y_energía_(GIOI)#Energ.C3.ADa_potencial|Energía potencial y mecánica]]
-->
## [[Problemas de energía y leyes de conservación (GIOI)|Problemas]]
# [[Movimiento oscilatorio (GIOI)|Movimiento oscilatorio]] ('''tema transversal''')
## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIOI)#Arm.C3.B3nico_simple|Movimiento armónico simple]]
## [[Aplicaciones_de_las_leyes_de_Newton_(GIOI)#Oscilador_arm.C3.B3nico| Dinámica del oscilador armónico]]
## [[Osciladores no lineales. Péndulo simple (GIOI)|Osciladores no lineales. Péndulo simple]]
## [[Oscilaciones amortiguadas (GIOI)|Oscilaciones amortiguadas]]
## [[Oscilaciones forzadas (GIOI)|Oscilaciones forzadas]]
# [[Dinámica de los sistemas de partículas (GIOI)|Dinámica de los sistemas de partículas]]
## [[Definición y propiedades de un sistema de partículas]]
## [[Leyes de conservación en un sistema de partículas]]
## [[Colisiones de dos partículas (GIOI)|Colisiones de dos partículas]]
## [[Propulsión a reacción (GIOI)|Propulsión a reacción]]
## [[Problemas de dinámica de los sistemas de partículas (GIOI)|Problemas]]
# [[Cinemática del sólido rígido (GIOI)|Cinemática del sólido rígido]]
## [[Concepto de sólido rígido]]
## [[Tipos de movimientos rígidos]]
## [[Contacto entre sólidos]]
## [[Movimiento plano]]
## [[Problemas de cinemática del sólido rígido (GIOI)|Problemas]]
# [[Introducción a la dinámica del sólido rígido (GIOI)|Introducción a la dinámica del sólido rígido]]
## [[Propiedades dinámicas de un sólido rígido]]
## [[Ecuaciones de la dinámica del sólido rígido]]
## [[Estática del sólido rígido]]
## [[Sistemas simples de sólidos rígidos]]
## [[Problemas de dinámica del sólido rígido (GIOI)|Problemas]]
# [[Movimiento ondulatorio (GIOI)|Movimiento ondulatorio]]
## Definición de onda
## Ecuación de ondas
## Propiedades de las ondas sinusoidales
## Energía y potencia en ondas viajeras
## Ondas estacionarias


<center><math>F_{T1}-m_Ag-k(\ell-\ell_0)=0\,</math></center>
:'''Tema transversal:''' [[Movimiento oscilatorio (GIOI)|Movimiento oscilatorio]]
:# Movimiento armónico simple
:# Ley de Hooke
:# Energía de un oscilador armónico


La fuerza elástica vale, teniendo en cuenta que el muelle mide 15cm
==Exámenes y otros documentos==
 
# [[Exámenes de Física I (GIOI)|Exámenes]]
<center><math>k(\ell-\ell_0)=100(0.15-0.10)\,\mathrm{N}=5.0\,\mathrm{N}</math></center>
# [[Boletines de problemas (GIOI)|Boletines]]
 
[[Categoría:Física I (GIOI)|0]]
lo que da
 
<center><math>F_{T1}=m_Ag+k(\ell-\ell_0)=3.5\,\mathrm{N}+5\,\mathrm{N}=8.5\,\mathrm{N}</math></center>
 
y
 
<center><math>F_{T2}=F_{T1}-m_Bg=8.5\,\mathrm{N}-6.5\,\mathrm{N}=2.0\,\mathrm{N}</math></center>
 
==Situación tras el corte==
Una vez que se corta el hilo, las masas comienza a moverse, aunque inicialmente sus posiciones siguen siendo las mismas. Esto quiere decir que, justo tras el corte, la fuerza ejercida por el resorte sigue siendo de 5.0&thinsp;N. Ese muelle tira de la masa A hacia abajo, lo que hará subir a la B. Por la inextensibilidad del hilo
 
<math>a_A=-a_B\,</math>
 
lo que nos da las ecuaciones de movimiento
 
<center><math>-k(\ell-\ell_0)-m_Ag+F_{T1}=m_Aa_A\qquad\qquad F_{T1}-m_Bg=m_B a_B = -m_Ba_A</math></center>
 
con los valores numéricos
 
<center><math>-8.5+F_{T1}=0.35a_A\qquad\qquad F_{T1}-6.5=-0.65a_B</math></center>
 
Restando las dos ecuaciones eliminamos la tensión
 
<center><math>-2.0=1.0a_A\qquad \Rightarrow\qquad a_A=-2.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} \qquad\qquad a_B=+2.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 
siendo la tensión justo después del corte
 
<center><math>F_{T1}=m_B(g+a_b)=0.65(10+2)=7.8\,\mathrm{N}</math></center>
 
Nótese como el valor de la tensión cambia bruscamente al cortar el otro hilo. No puede suponerse que la tensión es la calculada para la posición inicial.
 
==Amplitud de las oscilaciones==
Puesto que las masas parten del reposo, la amplitud de las oscilaciones es la distancia entre la posición inicial, que ya conocemos, y la posición de equilibrio.
 
En la posición de equilibrio se cumple, para una masa
 
<center><math>F_{T1}-m_Bg=0\,</math></center>
 
y para la otra
 
<center><math>F_{T1}-m_Ag-k(\ell_\mathrm{eq}-\ell_0)=0\,</math></center>
 
con valores numéricos
 
<center><math>F_{T1}-6.5=0\,</math></center>
 
<center><math>F_{T1}-3.5-100(\ell_\mathrm{eq}-0.10)=0\,</math></center>
 
lo que nos da
 
<center><math>\ell_\mathrm{eq}=0.10+\frac{6.5-3.5}{100}=0.13\,\mathrm{m}=13\,\mathrm{cm}</math></center>
 
Dado que inicialmente, el muelle posee una elongación de 15&thinsp;cm, la amplitud de las oscilaciones es
 
<center><math>A=15\,\mathrm{cm}-13\,\mathrm{cm}=2\,\mathrm{cm}</math></center>
 
==Frecuencia de las oscilaciones==
Si consideramos el estado general de movimiento, tenemos las ecuaciones
 
<center><math>-k(\ell-\ell_0)-m_Ag+F_{T1}=m_Aa_A\qquad\qquad F_{T1}-m_Bg=m_B a_B = -m_Ba_A</math></center>
 
donde ahora <math>\ell</math> es una función del tiempo, como también lo es la tensión del hilo. Si sustituimos los valores numéricos queda
 
<center><math>-100(\ell-0.10)-3.5+F_{T1}=0.35a_A \qquad\qquad F_{T1}-6.5=-0.65a_A</math></center>
 
Restamos las ecuaciones
 
<center><math>1.0a_A=-100\ell + 10-3.5+6.5 = -100(\ell-0.13)</math></center>
 
Esta es la ecuación de un oscilador armónico, con posición de equilibrio, <math>\ell_\mathrm{eq}=0.13\,\mathrm{m}</math> y frecuencia
 
<math>\omega=\sqrt{\frac{100}{1.0}}=10\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}</math>
 
==Valor mínimo de la tensión==
Una vez que empieza a oscilar, la longitud del muelle varía como
 
<center><math>\ell=0.13+0.02\cos(10t)\,\qquad\qquad a_A=-2.0\cos(10t)</math></center>
 
lo que nos da la tensión en cada instante
 
<center><math>F_{T1}=6.5-0.65a_A=6.5+1.3\cos(10t)\,</math></center>
 
Por tanto, la tensión oscila entre su valor máximo inicial de 7.8N a un valor mínimo de 5.2N, no llegando a destensarse nunca. Para otros valores de las masas y longitudes de hilos sí es posible que este valor se haga 0 en cuyo caso el hilo se destensaria.

Revisión del 09:51 21 nov 2023

Ya a la venta:

Física general: Mecánica, de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.

Programa

  1. Conocimientos previos
    1. Tabla de fórmulas de trigonometría
    2. Tabla de derivadas y primitivas
    3. Tabla de fórmulas de variable compleja
  2. Introducción a la física
    1. Problemas
  3. Cinemática de la partícula (I)
    1. Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo
  4. Herramientas matemáticas
    1. Problemas
  5. Cinemática de la partícula (II)
    1. Problemas de cinemática tridimensional
  6. Principios de la dinámica
    1. Problemas
  7. Energía y leyes de conservación
    1. Problemas
  8. Movimiento oscilatorio (tema transversal)
    1. Movimiento armónico simple
    2. Dinámica del oscilador armónico
    3. Osciladores no lineales. Péndulo simple
    4. Oscilaciones amortiguadas
    5. Oscilaciones forzadas
  9. Dinámica de los sistemas de partículas
    1. Definición y propiedades de un sistema de partículas
    2. Leyes de conservación en un sistema de partículas
    3. Colisiones de dos partículas
    4. Propulsión a reacción
    5. Problemas
  10. Cinemática del sólido rígido
    1. Concepto de sólido rígido
    2. Tipos de movimientos rígidos
    3. Contacto entre sólidos
    4. Movimiento plano
    5. Problemas
  11. Introducción a la dinámica del sólido rígido
    1. Propiedades dinámicas de un sólido rígido
    2. Ecuaciones de la dinámica del sólido rígido
    3. Estática del sólido rígido
    4. Sistemas simples de sólidos rígidos
    5. Problemas
  12. Movimiento ondulatorio
    1. Definición de onda
    2. Ecuación de ondas
    3. Propiedades de las ondas sinusoidales
    4. Energía y potencia en ondas viajeras
    5. Ondas estacionarias
Tema transversal: Movimiento oscilatorio
  1. Movimiento armónico simple
  2. Ley de Hooke
  3. Energía de un oscilador armónico

Exámenes y otros documentos

  1. Exámenes
  2. Boletines