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==Enunciado==
Ya a la venta:
Se tiene el sistema de dos poleas y tres masas de la figura 5 (<math>m_1=4\,\mathrm{kg}</math>, <math>m_2=1\,\mathrm{kg}</math>, <math>m_3=3\,\mathrm{kg}</math>). Los dos hilos son ideales (inextensibles y sin masa) y las poleas son ideales (sin masa ni fricción). Para este sistema calcule
# La aceleración de cada una de las masas.
# La tensión de cada uno de los dos cables.
# La fuerza que hace el soporte que sujeta el sistema al techo.
Suponga ahora que se sujeta la masa <math>m_3=3\,\mathrm{kg}</math>, de manera que no puede moverse.
<ol start="4">
<li>¿Cuál es en ese caso la aceleración de cada una de las otras dos masas?</li>
<li>¿Cuánto vale la tensión de cada cable?</li>
<li>¿Qué fuerza hace el soporte superior y cuál el individuo que sujeta la masa <math>m_3</math>?</li>
</ol>
Tome <math>g=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>.


<center>[[Archivo:doble-maquina-atwood.png|300px]]</center>
[[Archivo:portada.jpg|266px]]


==Tensión y aceleraciones==
''[https://editorial.us.es/es/detalle-libro/720177/fisica-general-mecanica Física general: Mecánica]'', de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.
Para cada una de las masas se aplica la segunda ley de Newton


<center><math>\begin{array}{rcl}
==Programa==
m_1a_1&=&m_1 g - F_{T1}\\
#Conocimientos previos
m_2a_2&=&m_2 g - F_{T2}\\
## [[Tabla de fórmulas de trigonometría]]
m_3a_3&=&m_3 g - F_{T3}
## [[Tabla de derivadas y primitivas]]
\end{array}</math></center>
## [[Tabla de fórmulas de variable compleja]]
#Introducción a la física
<!--
## [[Modelos y teorías físicas. El método científico]]
## [[Dimensiones y unidades (GIOI)|Dimensiones y unidades]]
## [[Medidas, estimaciones e incertidumbres]]
-->
## [[Problemas_de_introducción_a_la_física_(GIOI)|Problemas]]
#Cinemática de la partícula (I)
<!--
## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIOI)|En una dimensión]]
### [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIOI)|Definiciones y propiedades]]
### [[Casos particulares de movimiento rectilíneo (GIOI)|Casos particulares de movimiento rectilíneo]]
-->
## [[Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo (GIOI)|Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]
# Herramientas matemáticas
<!--
## Vectores en física. Definiciones y operaciones
## Vectores en física. Coordenadas y componentes
-->
## [[Problemas_de_herramientas_matemáticas_(GIOI)|Problemas]]
#Cinemática de la partícula (II)
<!--
## En dos y tres dimensiones
### Posición, trayectoria y ley horaria
### Velocidad y aceleración
### Casos particulares de movimiento tridimensional
-->
## [[Problemas de cinemática tridimensional de la partícula (GIOI)|Problemas de cinemática tridimensional]]
# Principios de la dinámica
<!--
## [[Leyes de Newton (GIOI)|Leyes de Newton]]
## [[Análisis de problemas de dinámica (GIOI)|Análisis de problemas en dinámica]]
## [[Aplicaciones de las leyes de Newton (GIOI)| Aplicaciones de las leyes de Newton]]
### [[Movimiento de una partícula por acción de la gravedad (GIOI)|Movimiento de una partícula por acción de la gravedad]]
### [[Dinámica del oscilador armónico (GIOI)|Dinámica del oscilador armónico]]
### [[Movimiento sobre curvas y superficies (GIOI)|Movimiento sobre curvas y superficies]]
### [[Péndulos e hilos (GIOI)|Péndulos e hilos]]
### [[Fuerzas de rozamiento (GIOI)|Fuerzas de rozamiento]]
## [[Estática_de_la_partícula_(GIOI)|Estática de la partícula]]
## [[Fuerzas ficticias (GIOI)|Fuerzas ficticias]]
-->
## [[Problemas de dinámica de la partícula (GIOI)|Problemas]]
# Energía y leyes de conservación
<!--
## [[Cantidad de movimiento y momento cinético (GIOI)|Cantidad de movimiento y momento cinético]]
## [[Trabajo y energía (GIOI)|Trabajo y energía cinética]]
## [[Trabajo_y_energía_(GIOI)#Energ.C3.ADa_potencial|Energía potencial y mecánica]]
-->
## [[Problemas de energía y leyes de conservación (GIOI)|Problemas]]
# [[Movimiento oscilatorio (GIOI)|Movimiento oscilatorio]] ('''tema transversal''')
## [[Cinemática_del_movimiento_rectilíneo_(GIOI)#Arm.C3.B3nico_simple|Movimiento armónico simple]]
## [[Aplicaciones_de_las_leyes_de_Newton_(GIOI)#Oscilador_arm.C3.B3nico| Dinámica del oscilador armónico]]
## [[Osciladores no lineales. Péndulo simple (GIOI)|Osciladores no lineales. Péndulo simple]]
## [[Oscilaciones amortiguadas (GIOI)|Oscilaciones amortiguadas]]
## [[Oscilaciones forzadas (GIOI)|Oscilaciones forzadas]]
# [[Dinámica de los sistemas de partículas (GIOI)|Dinámica de los sistemas de partículas]]
## [[Definición y propiedades de un sistema de partículas]]
## [[Leyes de conservación en un sistema de partículas]]
## [[Colisiones de dos partículas (GIOI)|Colisiones de dos partículas]]
## [[Propulsión a reacción (GIOI)|Propulsión a reacción]]
## [[Problemas de dinámica de los sistemas de partículas (GIOI)|Problemas]]
# [[Cinemática del sólido rígido (GIOI)|Cinemática del sólido rígido]]
## [[Concepto de sólido rígido]]
## [[Tipos de movimientos rígidos]]
## [[Contacto entre sólidos]]
## [[Movimiento plano]]
## [[Problemas de cinemática del sólido rígido (GIOI)|Problemas]]
# [[Introducción a la dinámica del sólido rígido (GIOI)|Introducción a la dinámica del sólido rígido]]
## [[Propiedades dinámicas de un sólido rígido]]
## [[Ecuaciones de la dinámica del sólido rígido]]
## [[Estática del sólido rígido]]
## [[Sistemas simples de sólidos rígidos]]
## [[Problemas de dinámica del sólido rígido (GIOI)|Problemas]]
# [[Movimiento ondulatorio (GIOI)|Movimiento ondulatorio]]
## Definición de onda
## Ecuación de ondas
## Propiedades de las ondas sinusoidales
## Energía y potencia en ondas viajeras
## Ondas estacionarias


donde hemos medido las distancias desde el centro de la polea superior hacia abajo. En este sistema tenemos 3 ecuaciones, pero 6 incógnitas (las tres aceleraciones y las tres tensiones). Necesitamos tres ecuaciones más.
:'''Tema transversal:''' [[Movimiento oscilatorio (GIOI)|Movimiento oscilatorio]]
:# Movimiento armónico simple
:# Ley de Hooke
:# Energía de un oscilador armónico


Para las tensiones tenemos que las masas 2 y 3 están unidas por la misma cuerda, que pasa por una pole ideal (sin masa y sin rozamiento). Por tanto, las dos tensiones son iguales.
==Exámenes y otros documentos==
 
# [[Exámenes de Física I (GIOI)|Exámenes]]
<center><math>F_{T2}=F_{T3}\,</math></center>
# [[Boletines de problemas (GIOI)|Boletines]]
 
[[Categoría:Física I (GIOI)|0]]
Para relacionar la tensión de la masa 1 debemos ver qué le ocurre a la polea que cuelga. Si llamamos &ldquo;0&rdquo; a esta polea tenemos
 
<center><math>F_{T1}=F_{T0}\,</math></center>
 
Esta ecuación añade una incógnita adicional. Si observamos que la polea 0 no tiene masa y está sujeta a tres fuerzas (la tensión de un cable que tira hacia arriba y las dos tensiones de otro que tiran hacia abajo se cumple
 
<center><math>-F_{T0}+F_{T2}+F_{T3}=m_0 a_0=0\,</math></center>
 
de donde
 
<center><math>F_{T1}=F_{T2}+F_{T3}=2F_{T2}\,</math></center>
 
Ya tenemos 5 ecuaciones. Queda una sexta, que sale de que los hilos son inextensibles. Por un lado tenemos, para la cuerda superior
 
<center><math>x_1+x_0=C_1\,</math></center>
 
y, para la cuerda inferior,
 
<center><math>(x_2-x_0)+(x_3-x_0) = C_2\,</math></center>
 
Podemos eliminar <math>x_0</math> de estas dos ecuaciones y llegamos a la ecuación de vínculo
 
<center><math>2x_1+x_2+x_3= 2C_1 + C_2 = C\,</math></center>
 
Si derivamos esta ecuación dos veces respecto al tiempo obtenemos una relación entre las aceleraciones
 
<center><math>2a_1+a_2+a_3= 0\,</math></center>
 
Con esto completamos el sistema de seis ecuaciones con 6 incógnitas
 
<center><math>\begin{array}{rcl}
m_1a_1&=&m_1 g - F_{T1}\\
m_2a_2&=&m_2 g - F_{T2}\\
m_3a_3&=&m_3 g - F_{T3} \\
F_{T2} & = & F_{T3}\\
F_{T1} & = & F_{T2} \\
0 & = & 2a_1+a_2+a_3
\end{array}</math></center>
 
Para resolverlo escribimos, en primer lugar, todas las tensiones en función de <math>F_{T1}</math> y despejamos las aceleraciones
 
<center><math>\begin{array}{rcl}
a_1&=&g - \dfrac{F_{T1}}{m_1}\\
a_2&=&g - \dfrac{F_{T1}}{2m_2}\\
a_3&=&g - \dfrac{F_{T1}}{2m_3}
\end{array}</math></center>
 
Ahora combinamos las ecuaciones para que la suma se anule.
 
<center><math>0 = 2a_1+a_2+a_3 = 4g-F_{T1}\left(\dfrac{2}{m_1}+\dfrac{1}{2m_2}+\dfrac{1}{2m_3}\right)</math></center>
 
De esta ecuación obtenemos la tensión del hilo superior
 
<center><math>F_{T1}= 4g\left(\dfrac{2}{m_1}+\dfrac{1}{2m_2}+\dfrac{1}{2m_3}\right)^{-1}</math></center>
 
Conocida esta tensión podemos calcular la tensión del otro hilo (que será la mitad) y las aceleraciones de cada una de las masas.
 
Si damos valores numéricos llegamos a
 
<center><math>F_{T1}=4\cdot 9.8\left(\dfrac{2}{4}+\frac{1}{2}+\dfrac{1}{6}\right)^{-1}=33.6\,\mathrm{N}</math></center>
 
La tensión del hilo inferior vale
 
<center><math>F_{T2}=\dfrac{F_{T1}}{2}=16.8\,\mathrm{N}</math></center>
 
Las aceleraciones de cada una de las masas valen:
 
<center><math>a_1=g-\frac{F_{T1}}{m_1}= 9.8-\frac{33.6}{4}=+1.4\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 
<center><math>a_2=g-\frac{F_{T2}}{m_2}= 9.8-\frac{16.8}{1}=-7.0\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 
<center><math>a_1=g-\frac{F_{T3}}{m_3}= 9.8-\frac{16.8}{3}=+4.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
 
==Caso de la masa sujeta==

Revisión del 10:51 21 nov 2023

Ya a la venta:

Física general: Mecánica, de Antonio González Fernández, editado por la Universidad de Sevilla (2020), que reúne y mejora gran parte del contenido de teoría y ejemplos de esta wiki. Disponible en, por ejemplo, la copistería de la ETSI de Sevilla.

Programa

  1. Conocimientos previos
    1. Tabla de fórmulas de trigonometría
    2. Tabla de derivadas y primitivas
    3. Tabla de fórmulas de variable compleja
  2. Introducción a la física
    1. Problemas
  3. Cinemática de la partícula (I)
    1. Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo
  4. Herramientas matemáticas
    1. Problemas
  5. Cinemática de la partícula (II)
    1. Problemas de cinemática tridimensional
  6. Principios de la dinámica
    1. Problemas
  7. Energía y leyes de conservación
    1. Problemas
  8. Movimiento oscilatorio (tema transversal)
    1. Movimiento armónico simple
    2. Dinámica del oscilador armónico
    3. Osciladores no lineales. Péndulo simple
    4. Oscilaciones amortiguadas
    5. Oscilaciones forzadas
  9. Dinámica de los sistemas de partículas
    1. Definición y propiedades de un sistema de partículas
    2. Leyes de conservación en un sistema de partículas
    3. Colisiones de dos partículas
    4. Propulsión a reacción
    5. Problemas
  10. Cinemática del sólido rígido
    1. Concepto de sólido rígido
    2. Tipos de movimientos rígidos
    3. Contacto entre sólidos
    4. Movimiento plano
    5. Problemas
  11. Introducción a la dinámica del sólido rígido
    1. Propiedades dinámicas de un sólido rígido
    2. Ecuaciones de la dinámica del sólido rígido
    3. Estática del sólido rígido
    4. Sistemas simples de sólidos rígidos
    5. Problemas
  12. Movimiento ondulatorio
    1. Definición de onda
    2. Ecuación de ondas
    3. Propiedades de las ondas sinusoidales
    4. Energía y potencia en ondas viajeras
    5. Ondas estacionarias
Tema transversal: Movimiento oscilatorio
  1. Movimiento armónico simple
  2. Ley de Hooke
  3. Energía de un oscilador armónico

Exámenes y otros documentos

  1. Exámenes
  2. Boletines
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