(Página creada con «==Introducción== Los ''principios de la dinámica'' o ''Leyes de Newton'' son los axiomas por los que se rigen las partículas y sistemas en la dinámica clásica. Fueron enunciados por Newton, basándose en los trabajos de Galileo, en sus ''Principia Mathematica''. Aunque se refieren a partículas, la aplicación directa de las leyes de Newton es mucho más amplia: * Se aplican a toda clase de objetos cuyo tamaño es mucho menor que las distancias que recorre. As…»)
 
(Página creada con «==Definición== Una ''partícula no vinculada'' es aquella que puede moverse sin obstáculo en las tres direcciones del espacio, aunque puede estar sometida a fuerzas que afectan a su movimiento. El que pueda describir tres movimientos independientes, y por tanto para especificar su posición se requieran tres coordenadas se expresa diciendo que la partícula tiene 3 grados de libertad. <center><math>\mathrm{GDL} = N = 3\,</math></center> El número de grados de li…»)
 
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==Introducción==
==Definición==
Los ''principios de la dinámica'' o ''Leyes de Newton'' son los axiomas por los que se rigen las partículas y sistemas en la dinámica clásica. Fueron enunciados por Newton, basándose en los trabajos de Galileo, en sus ''Principia Mathematica''.
Una ''partícula no vinculada'' es aquella que puede moverse sin obstáculo en las tres direcciones del espacio, aunque puede estar sometida a fuerzas que afectan a su movimiento.


Aunque se refieren a partículas, la aplicación  directa de las leyes de Newton es mucho más amplia:
El que pueda describir tres movimientos independientes, y por tanto para especificar su posición se requieran tres coordenadas se expresa diciendo que la partícula tiene 3 grados de libertad.


* Se aplican a toda clase de objetos cuyo tamaño es mucho menor que las distancias que recorre. Así, la Tierra, en su movimiento alrededor del Sol, puede ser tratada como una partícula.
<center><math>\mathrm{GDL} = N = 3\,</math></center>
* Se aplican directamente a sólidos, cuando no hay rotación de estos. Por ejemplo, una masa que desliza por un plano inclinado. Cuando hay rotación, deben emplearse ecuaciones más complicadas (ecuaciones de Euler) que se deducen de las leyes de Newton.
* Son suficientes para explicar el movimiento del centro de masas de un sistema de partículas, el cual se mueve como si toda la masa del sistema estuviera concentrada en él.
* Constituyen una primera aproximación a sistemas que no son partículas pero en el que los efectos de la rotación o deformación son pequeños.


Aparte, las leyes de Newton constituyen la base sobre la que se apoya el resto de la Dinámica.
El número de grados de libertad se expresa como GDL o D.O.F. (''degrees of freedom'').


Una versión de estos principios, enunciada de forma moderna, es la siguiente, donde encabezamos cada principio con el nombre con el que se lo conoce habitualmente:
==El problema fundamental de la dinámica==
===Determinación de posiciones===
En esencia, el problema que se plantea al estudiar la partícula no vinculada es ¿cómo se mueve esto? Es decir, se conoce el estado inicial (posición y velocidad) de la partícula y se conocen las fuerzas que actúan sobre ella (a partir de alguna ley de fuerza: gravitación, electromagnetismo, fuerzas elásticas,&hellip;) y a partir de ahí se trata de determinar su posición en un instante posterior.


==Primer principio: Principio de inercia==
Matemáticamente se trata de plantear la ecuación de movimiento
El primer principio de la dinámica, también conocido como ''Primera Ley de Newton'' puede formularse como


:&ldquo;''Toda partícula sobre la que no actúa ninguna fuerza permanece en reposo o en estado de movimiento rectilíneo y uniforme, cuando se observa desde un sistema de referencia inercial.''&rdquo;
<center><math>\vec{a}=\dfrac{1}{m}\vec{F}(\vec{r},\vec{v},t)</math></center>


{{ejemplo|Este principio fue enunciado inicialmente por Galileo. Galileo llego a él realizando experimentos con bolas que rodaban por canales en planos inclinados. Observó que si la pendiente era hacia abajo, la bola se aceleraba, mientras que si era hacia arriba se frenaba. La conclusión es que en una superficie horizontal debería permanecer constante (aunque la experiencia era que también se frenaba). Explicó el frenado horizontal como consecuencia del rozamiento.
o, en forma de ecuación diferencial


<center>[[Archivo:planos-inclinados-galileo.png]]</center>
<center><math>\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\dfrac{1}{m}\vec{F}\left(\vec{r},\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t},t\right)</math></center>


Lo que nos dice esta ley es que el espacio que nos rodea no está curvado de ninguna forma ya que las trayectorias de las partículas libres de interacciones son rectas y no otras curvas, como circunferencias (como ocurriría en la superficie de una esfera) o hélices (como ocurriría en la superficie de un cilindro).
A esta euación hay que añadir las condiciones iniciales


Esta ley contradice ciertas intuiciones comunes pero incorrectas:
<center><math>\vec{r}(t=0)=\vec{r}_0\qquad\qquad\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}(t=0)=\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0</math></center>


* Aristóteles pensaba que para que un objeto se moviera era necesaria siempre una fuerza. En ausencia de fuerza, un objeto se para. Esto es incorrecto porque no tiene en cuenta el rozamiento como una fuerza más. Si no hubiera rozamiento alguno, un objeto no se pararía. Así, por ejemplo, una nave que viaja por el espacio no necesita activar sus motores la mayor parte del tiempo (independientemente de lo que se vea en las películas).
Obsérvese que suponemos que la fuerza depende de la posición, la velocidad y el tiempo, pero no de la propia aceleración. Eso es una evidencia física. Cuando se suponen fuerzas dependientes de la aceleración se obtienen resultados físicamente absurdos.  


<center>[[Archivo:batman-rozamiento.png]]</center>
Desde el punto de vista del cálculo es más útil escribir la ecuación de movimiento como ecuaciones diferenciales de primer orden, con lo que queda


* En la Edad Media, se consideraba que cuando se lanzaba un objeto (como una piedra), se le comunicaba una fuerza y que cuando viajaba por el aire era porque seguía actuando "la fuerza con que se había lanzado", la cual se iba agotando progresivamente. Esto también es falso. La fuerza de lanzamiento solo actúa en el instante inicial. Posteriormente, sólo el peso y el rozamiento son responsables del movimiento de la partícula.}}
<center><math>\begin{array}{rcl}\dfrac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} & = & \vec{v} \\ && \\ \dfrac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} & = & \dfrac{1}{m}\vec{F}(\vec{r},\vec{v},t)
\end{array}</math></center>


El primer principio de la dinámica conlleva la clasificación de los [[Introducción_a_la_cinemática_de_la_partícula_(GIE)|sistemas de referencia]] en ''inerciales'' (aquellos desde los cuales una partícula libre de interacciones se observa en reposo o movimiento rectilíneo y uniforme) y ''no inerciales'' (aquellos respecto a los que no se cumple este principio de inercia).
con las condiciones iniciales


Dado un sistema inercial, se puede identificar al resto de sistemas inerciales como aquellos que tienen velocidad constante (es decir, aceleración nula) respecto al primero. Un sistema de referencia no inercial es aquel que está acelerado respecto a uno inercial.
<center><math>\vec{r}(t=0)=\vec{r}_0\qquad\qquad\vec{v}(t=0)=\vec{v}_0</math></center>


Dos sistemas de referencia inerciales diferentes, <math>S_0</math> y <math>S_1</math> miden distintas posiciones, velocidades y aceleraciones para la misma partícula. No obstante, pueden relacionarse estas medidas.  
Considerando que cada vector tiene tres componentes, esto son seis ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas (es decir, que no se pueden resolver independientemente, ya que la solución de cada una depende de las demás).


Si el punto <math>O_0</math> es el origen del sistema <math>S_0</math> y <math>O_1</math> el del sistema <math>S_1</math>, la posición del punto P en cada sistema verifica
Hay ocasiones en que la solución es trivial (caso de una fuerza constante), en otras existen soluciones analíticas más o menos complejas, pero en la mayoría de los casos la solución de las ecuaciones de movimiento requiere el cálculo numérico. Un ejemplo famoso es el del problema de los tres cuerpos. El movimiento de un cuerpo como un satélite en el campo gravitatorio de otros dos, como la Tierra y la Luna, no puede resolverse analíticamente.


<center><math>\overrightarrow{O_1P}=\overrightarrow{O_1O_0}+\overrightarrow{O_0P}\qquad\qquad\mbox{o}\qquad\qquad \vec{r}^P_1 = \vec{r}^{O_0}_1+\vec{r}^P_0</math></center>
===Determinación de fuerzas===
No siempre la dinámica de la partícula no vinculada consiste en predecir el movimiento de ésta. En otras ocasiones lo que se conoce es el movimiento (de manera experimental) y el objetivo es determinar la fuerza.


Las velocidades cumplen el llamado principio de relatividad de Galileo
Así, por ejemplo, a partir de las tres leyes de Kepler, empíricas, Newton llegó a la ley de la Gravitación Universal.
==Introducción a la solución numérica==
Como se ha dicho, en la mayoría de los problemas reales, las ecuaciones de movimiento deben resolverse numéricamente. Para ello existen una gran diversidad de métodos, tanto de aplicación general como específicos para problemas concretos.


<center><math>\vec{v}^P_1 = \vec{v}_{01}+\vec{v}^P_0</math></center>
A la hora de resolver un problema de este tipo, suele ser interesante seguir un cierto protocolo:


siendo <math>\vec{v}_{01}</math> la velocidad del sistema de referencia 0 respecto al 1. En este contexto, a esta velocidad se denomina ''velocidad de arrastre'', mientras que <math>\vec{v}^P_1</math> y <math>\vec{v}^P_0</math> se denominan la velocidad ''absoluta'' y la ''relativa'', respectivamente.
* Elegir las unidades adecuadas que simplifiquen el problema al máximo, reciendo al mínimo el número de parámetros independientes.
* Escribir las ecuaciones de movimiento como un sistema de ecuaciones de primer orden.
* Reducir, cuando sea posible, la complejidad algebraica de las ecuaciones, procurando evitar funciones que requieran tiempo de cálculo elevado.
* Elegir un paso de tiempo progresivamente más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada.


Puesto que los dos sistemas son inerciales la velocidad de arrastre es una constante. Esto implica, al derivar respecto al tiempo, que las aceleraciones que miden los dos observadores son iguales
A continuación explicamos la idea de algúnos métodos simples de aplicación general.
===El método de Euler===
La idea del método de Euler es simple. Si conocemos la posición, la velocidad y la aceleración en un instante dado, podemos hallar la posición y la velocidad en un instante posterior, suponiendo que la velocidad y la aceleración son prácticamente constantes (lo cual será más o menos cierto si el intervalo de tiempo es muy corto). Con la nueva posición y velocidad, hallamos el nuevo valor de la fuerza y de aquí la nueva aceleración. Repetimos el proceso todas las veces que haga falta.


<center><math>\vec{a}^P_1 = \frac{\mathrm{d}\vec{v}^P_1}{\mathrm{d}t}=\overbrace{\frac{\mathrm{d}\vec{v}_{01}}{\mathrm{d}t}}^{=\vec{0}}+\frac{\mathrm{d}\vec{v}^P_0}{\mathrm{d}t}=\vec{a}^P_0</math></center>
Matemáticamente el método es el siguiente. Las ecuaciones de movimiento pueden escribirse como dos ecuaciones para las primeras derivadas
<center><math>\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} & = & \vec{v}\\ && \\
\displaystyle \frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t} & = & \displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}(\vec{r},\vec{v},t)
\end{array}</math></center>


En este contexto se dice que la aceleración es un ''invariante''.
Hacemos entonces la aproximación siguiente: una derivada no es más que un cociente entre dos incrementos infinitamente pequeños. Aproximamos entonces las derivadas por incrementos finitos


{{ejemplo|'''El ejemplo del tiovivo'''<br />
<center><math>\begin{array}{rcl}
\displaystyle \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} & \simeq & \vec{v}\\ && \\
\displaystyle \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} & \simeq & \displaystyle\frac{1}{m}\vec{F}(\vec{r},\vec{v},t)
\end{array}</math></center>


Es fácil ver que en un sistema acelerado no se cumple la ley de inercia. Consideremos una plataforma giratoria respecto al suelo, que es un sistema no inercial. Una pelota lanzada por el aire por encima de la plataforma describe en la horizontal un movimiento rectilíneo y uniforme. Sin embargo, para un observador situado sobre la plataforma, la pelota se desvía lateralmente hacia un lado y por tanto no describe un movimiento rectilíneo y uniforme, pese a que no hay fuerzas horizontales actuando sobre ella.}}
Teniendo en cuenta que


<center><math>\Delta\vec{r}=\vec{r}(t+\Delta t)-\vec{r}(t)\qquad \Delta\vec{v}=\vec{v}(t+\Delta t)-\vec{v}(t)</math></center>


{| class="bordeado"
podemos despejar
|-
! Desde el suelo
! Desde la plataforma
|-
| [[Archivo:tabla-rotante-01.gif]]
| [[Archivo:tabla-rotante-02.gif]]
|}


&nbsp;
<center><math>\begin{array}{rcl}
 
\displaystyle \vec{r}(t+\Delta t) & \simeq & \vec{r}(t) + \vec{v}(t)\Delta t\\ && \\
{{ejemplo|'''¿Es la Tierra un sistema de referencia inercial?''' <br />
\displaystyle \vec{v}(t+\Delta t) & \simeq & \displaystyle\vec{v}(t) + \frac{\Delta t}{m}\vec{F}(\vec{r}(t),\vec{v}(t),t)
 
Respecto al espacio que la rodea la aceleración de un sistema de referencia ligado a la Tierra se debe a la rotación de esta sobre sí misma y a la de traslación respecto al Sol. Ambas pueden calcularse empleando la expresión para la aceleración en un movimiento circular uniforme <math>a = \omega^2R</math>. A partir de los periodos de rotación y traslación pueden hallarse las aceleraciones correspondientes y resulta un valor de 0.03&thinsp;m/s&sup2; para la de rotación y una de 0.006&thinsp;m/s&sup2; para la de traslación. La segunda es muy pequeña comparada con la de la gravedad, pero la primera no tanto. Por ello en fenómenos que requieren un tiempo largo o grandes distancias, como los que se estudian en meteorología, el efecto de la rotación terrestre es importante y en ocasiones dominante.}}
 
==Segundo principio: Segunda Ley de Newton==
Cuando sobre un cuerpo se aplica una fuerza, éste deja de realizar un movimiento rectilíneo y uniforme, esto es, su velocidad deja de ser constante. El segundo principio de la dinámica nos dice qué es lo que ocurre cuando a una partícula se le aplica una fuerza
 
:''&ldquo;Cuando sobre un cuerpo de masa <math>m</math> se aplica una fuerza neta <math>\vec{F}</math> adquiere una aceleración proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo&rdquo;''
 
<center><math>\vec{a}=\frac{1}{m}\vec{F}</math></center>
 
o, como se escribe habitualmente
 
<center><math>\vec{F}=m\vec{a}</math></center>
 
Si hay más de una fuerza aplicada simultáneamente, <math>\vec{F}</math> es la ''resultante'' de las fuerzas aplicadas sobre la partícula, hallada como suma ''vectorial'' de ellas.
 
<center><math>\vec{F}=\vec{F}_1+\vec{F}_2+\cdots</math></center>
 
{{ejemplo|Así, por ejemplo, para un avión en vuelo se considera que está sometido a cuatro fuerzas: su peso, la sustentación debida al aire, el empuje o tracción debido a la propulsión y la resistencia debida a la fricción con el aire
 
<center>[[Archivo:fuerzas-avion-02.jpg]]</center>
 
Dependiendo del balance entre las diferentes fuerzas se obtiene la aceleración en la dirección deseada. Cuando el avión vuela a velocidad constante, quiere decir que la suma de las fuerzas aplicadas es nula.
}}
 
Cuando actúan varias fuerzas independientes, sus efectos se suman, según el
 
;Principio de superposición: Si sobre un mismo punto material actúan dos fuerzas simultáneamente, la aceleración que adquiere es la suma ''vectorial'' de las aceleraciones que le comunicarían cada una de las dos fuerzas por separado.
 
:También se conoce a éste como principio de ''independencia de acción de las fuerzas'', y se puede generalizar para un número arbitrario de fuerzas.
 
===Masa e inercia===
En la segunda ley de Newton
 
<center><math>\vec{a}=\frac{1}{m}\vec{F}</math></center>
 
aparece la masa de la partícula como la constante de proporcionalidad entre fuerza y aceleración. Tradicionalmente la masa se considera como una medida de la cantidad de materia, sin embargo, para expresar esa idea ya existe otra magnitud fundamental, cuya unidad es el mol.
 
En este contexto la masa es una propiedad de la partícula que mide su ''inercia''. Puesto que aparece en un denominador,para una fuerza aplicada dada, cuanto mayor es la masa, menor es la aceleración. Si la aceleración es menor, el cambio de velocidad es también menor. Por tanto, cuanto mayor es la masa, menos cambia la velocidad, es decir, es más difícil modificar el estado de movimiento de la partícula. A esta oposición al cambio del estado se la denomina ''inercia'' y a la propiedad que la mide, ''masa inercial''.
 
{{ejemplo|'''Cómo no salirse de una curva'''
 
Un ejemplo claro del significado de la inercia lo tenemos en la fuerza necesaria para tomar una curva. Supongamos un coche y un camión que deben tomar ambos la misma curva con rapidez constante. En este caso la aceleración es puramente normal, por lo que se cumple la relación
 
<center><math>\frac{|\vec{F}|}{m}=a_n=\frac{|\vec{v}|^2}{R}</math></center>
 
Esta ecuación puede leerse de diferentes formas:
 
* Si los dos vehículos toman la curva con la misma rapidez, el del camión deberá realizar una fuerza mayor, proporcionalmente a la masa.
 
<center><math>|\vec{F}| = \left(\frac{|\vec{v}|^2}{R}\right)m</math></center>
 
* Si los dos vehículos realizan la misma fuerza, el camión deberá circular más despacio, con una rapidez proporcional a la inversa de la raíz cuadrada de la masa.
 
<center><math>|\vec{v}| = \frac{\sqrt{R|\vec{F}|}}{\sqrt{m}}</math></center>
 
* Si los dos vehículos entran en la curva con la misma rapidez y realizan la misma fuerza, el radio de curvatura del camión es mayor, proporcionalmente a la masa, lo que quiere decir que &ldquo;hace un recto&rdquo; y se sale de la curva
 
<center><math>R = \left(\frac{|\vec{v}|^2}{|\vec{F}|}\right)m</math></center>
}}
 
===Leyes de fuerza===
La segunda ley de Newton requiere el conocimiento de las fuerzas aplicadas, como un dato del problema. Estas fuerzas deben ser obtenidas independientemente para que la ley tenga verdadero significado. Por ello, precisamos de algún modelo físico que nos proporcione la expresión de la fuerza. Entre estos modelos se encuentran:
 
*La ley de Hooke, para el oscilador armónico
 
<center><math>\vec{F}=-k\vec{r}\,</math></center>
 
*La ley de Newton de la Gravitación Universal, para el movimiento de una masa en el campo gravitatorio de otra
 
<center><math>\vec{F}=-G\frac{m_1m_2(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}</math></center>
 
:En esta ley aparece también la masa, como creadora de campo gravitatorio (la denominada ''masa gravitatoria''). Newton, estableció que la masa inercial y la gravitatoria tenían el mismo valor, aunque no pudo explicar por qué.
 
:La ley de la Gravitación contiene al caso particular e importante del movimiento de una masa pequeña en las proximidades de la superficie terrestre
 
<center><math>\vec{F}=m\vec{g}\,</math></center>
 
*La [[ley de Lorentz]], para el movimiento de una partícula en un campo electromagnético
 
<center><math>\vec{F}=q\left(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}\right)\,</math></center>
 
:Un caso particular de esta ley es la [[Electrostática_en_el_vacío#Ley_de_Coulomb|ley de Coulomb]], para la fuerza producida por una carga en reposo
 
<center><math>\vec{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2(\vec{r}_2-\vec{r}_1)}{|\vec{r}_2-\vec{r}_1|^3}</math></center>
 
Una característica común a todas estas leyes de fuerza es que proporcionan una fuerza dependiente de la posición y de la velocidad instantáneas de la partícula.
 
===Expresión en componentes===
====Cartesianas====
Separando en las componentes cartesianas quedan las tres ecuaciones escalares
 
<center><math>
\begin{array}{rcl}
m\ddot{x} & = & F_x\\
m\ddot{y} & = & F_y\\
m\ddot{z} & = & F_z
\end{array}</math></center>
 
Si cada componente de la fuerza depende solo de la coordenada correspondiente, estas ecuaciones se pueden resolver por separado y el movimiento a lo largo de cada eje es independiente de los otros dos. En la mayoría de los casos, no obstante, las componentes de la fuerza dependen de todas las coordenadas y estas ecuaciones están acopladas. No podemos resolver una sin resolver las otras dos al mismo tiempo.
 
====Polares y cilíndricas====
En el caso de un movimiento en un plano también pueden usarse las coordenadas polares. Sustituyendo la expresión de la aceleración en estas componentes quedan las ecuaciones
 
<center><math>
\begin{array}{rcl}
m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2) & = & F_\rho\\
m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}) & = & F_\theta
\end{array}</math></center>
\end{array}</math></center>


siendo <math>F_\rho</math> y <math>F_\theta</math> las componentes radial y acimutal de la fuerza.
Si etiquetamos las sucesivas posiciones y velocidades por un subíndice, nos queda la sucesión
 
En un movimiento tridimensional, puede incluirse una tercera coordenada perpendicular a este plano. Se dice entonces que tenemos coordenadas cilíndricas. La segunda ley de Newton se escribe en ellas


<center><math>
<center><math>\begin{array}{rcl}
\begin{array}{rcl}
t_{n+1} & = & t_n + h \\ && \\
m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\theta}^2) & = & F_\rho\\
\displaystyle \vec{r}_{n+1} & = & \vec{r}_n + \vec{v}_n h\\ && \\
m(2\dot{\rho}\dot{\theta}+\rho\ddot{\theta}) & = & F_\theta\\
\displaystyle \vec{v}_{n+1} & = & \displaystyle \vec{v}_n + \frac{h}{m}\vec{F}_n
m\ddot{z} & = & F_z
\end{array}</math></center>
\end{array}</math></center>


====Intrínsecas====
que nos proporciona una tabla de valores de la posición y la velocidad para una lista de valores del tiempo.
Si descomponemos la fuerza en sus componentes paralela y perpendicular a la velocidad instantánea


<center><math>F_t = \frac{\vec{F}\cdot\vec{v}}{|\vec{v}|}\qquad\qquad F_n = \frac{|\vec{F}\times\vec{v}|}{|\vec{v}|}</math></center>
¿Cuál es el riesgo del método? Que si la aproximación no es buena, la posición y la velocidad calculadas pueden ser ligeramente errónea, lo que nos dará una fuerza también incorrecta. Esto nos producirá una nueva posición y velocidad aun más incorrecta, y así sucesivamente. Los errores se van acumulando y podemos acabar muy lejos de donde deberíamos estar.


quedan las ecuaciones para las componentes intrínsecas de la aceleración
{{ejemplo|
Como ilustración consideremos el caso de un oscilador armónico en una dimensión, que tiene por ecuaciones de movimiento


<center><math>m\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=F_t\qquad \qquad m\frac{|\vec{v}|^2}{R}=F_n</math></center>
<center><math>\dot{x}=v\qquad \dot{v}=-\frac{k}{m}x</math></center>


==Tercer principio: ley de acción y reacción==
con condiciones iniciales <math>x(0)=A</math>, <math>v(0)=0</math>
Los dos primeros principios de la dinámica nos dicen cómo se comportan las partículas en ausencia de fuerzas o sometidas a una fuerza conocida. El tercer principio de la dinámica establece una propiedad básica de esas fuerzas de interacción entre partículas:
Este sistema tiene solución analítica, por lo que puede verse cómo de buena es una aproximación.


:&ldquo;''Si una partícula A ejerce en un instante dado una fuerza sobre una partícula B, la partícula B ejerce sobre A una fuerza de igual módulo e igual dirección, pero de sentido contrario.''&rdquo;
Lo primero es elegir unidades adecuadas. Si <math>x_0</math>, <math>t_0</math> y <math>v_0</math> son las unidades


Matemáticamente
<center><math>x=x_0x^*\qquad\qquad t=t_0t^*\qquad\qquad v=v_0v^*</math></center>


<center><math>\vec{F}_{A\to B} = -\vec{F}_{B\to A}</math></center>
el sistema se convierte en (quitando los asteriscos)


Hay que destacar que estas dos fuerzas '''no''' se anulan mutuamente, ya que se ejercen sobre partículas distintas. Sólo en el caso de que se encuentren rígidamente unidas se cancelarán sus efectos.
<center><math>\dot{x}=\frac{v_0t_0}{x_0}v\qquad \qquad \dot{v}=-\frac{kx_0t_0}{mv_0}x\qquad x(0) = \frac{A}{x_0}\qquad v(0)=0</math></center>


Además se cumple para casi todas las fuerzas que el par acción-reacción va en la dirección de la recta que une las dos partículas
que se simplifica al máximo si hacemos


<center>[[Archivo:accion-reaccion.png]]{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{F}_{A\to B}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}</math></center>
<center><math>x_0=A\qquad \qquad t_0=\sqrt{\frac{m}{k}} \qquad\qquad v_0=\frac{x_0}{t_0}</math></center>


Ambas fuerzas actúan simultáneamente. Por ello, hay que señalar que el nombre de &ldquo;acción y reacción&rdquo;, con el que se conoce habitualmente a esta ley, es engañoso en cuanto a que sugiere a que primero actúa la acción y posteriormente la reacción. No es así y no existe distinción alguna que convierta a una de las fuerzas en acción y a la otra en reacción.
de forma que el sistema se reduce a


<center><math>\dot{x}=v\qquad\qquad \dot{v}=-x\qquad\qquad x(0)=1\qquad\qquad v(0)=0</math></center>


{{ejemplo|'''¿Quién mueve el trineo?'''
<center>[[Archivo:trineo-perros.jpg]]</center>
En el caso del trineo arrastrado por perros, el trineo tira del perro exactamente con la misma fuerza, en módulo y dirección, y de sentido opuesto, con la que el perro tira del trineo. ¿Cómo se mueve entonces?


En este sistema, tenemos tres pares acción-reacción:
<center>
[[Archivo:euler-01.png|400px]] [[Archivo:euler-02.png|400px]] <br /> [[Archivo:euler-03.png|400px]]</center>


* El perro y el trineo, cuyas fuerzas se anulan mutuamente, por estar atados rígidamente.
Para un <math>\Delta t</math> grande (puntos rojos) resultan oscilaciones, pero que se separan rápidamente de la solución exacta (línea verde). Reduciendo el intervalo de tiempo (puntos azules) se obtiene una mejor aproximación. El coste de esta precisión es que requiere más cálculos y por tanto mayor tiempo de computación. Es necesario entonces hallar un balance entre la precisión deseada y los recursos disponibles.}}
* El perro empuja al suelo hacia atrás, y éste al perro hacia adelante.
* El trineo, que también roza, empuja al suelo hacia adelante, y el suelo empuja al trineo hacia atrás.


Puesto que el rozamiento del trineo sobre la nieve es pequeño, la fuerza del suelo sobre el perro, hacia adelante, supera a la fuerza sobre el trineo hacia atrás, por lo que el sistema puede acelerarse hacia adelante.
El método de Euler es muy poco preciso y por ello no se usa en la práctica. Existen métodos mucho más refinados, como el Runge-Kutta, que con el mismo número de operaciones produce una mucha mejor aproximación al resultado.


Cuando caminamos ejercemos una fuerza hacia atrás sobre el suelo que es respondida por el rozamiento con una hacia adelante del suelo sobre nosotros, que es la que nos permite avanzar.  
===El método de Runge-Kutta===
La idea de los métodos de Runge-Kutta es en primer lugar extrapolar como en el método de Euler, pero luego emplear el valor de la derivada en el punto de destino para hallar una nueva extrapolación mejorada. El proceso se puede repetir varias veces, obteniendo mejores grados de aproximación.  


Del mismo modo, al saltar es la fuerza hacia arriba ejercida por el suelo la que nos eleva. El suelo se comporta como una cama elástica, solo que su deformación es muy pequeña y no la apreciamos.
<center>[[Archivo:rk4.gif]]</center>
}}
&nbsp;
{{ejemplo|'''Malentendidos comunes'''


Sobre la acción y la reacción existen una serie de errores comunes, que se deben evitar:
Existen diveros métodos de Runge-Kutta, según el grado de aproximación que se desee. La variante más común es el de cuarto orden. En esta variante se escribe el sistema de ecuaciones de primer orden


* Como se ha dicho, la acción y la reacción se aplican sobre cuerpos diferentes. Por tanto, no se anulan mutuamente.
<center><math>\dot{x}=f(x,t)</math></center>
* Un par de fuerzas opuestas aplicadas en el mismo cuerpo no constituyen un par acción-reacción. Así, en el ejemplo del avión, la sustentación y el peso no son acción y reacción.
* En la misma línea, no hay confundir las [[Aplicaciones_de_las_leyes_de_Newton_(GIE)#Fuerzas_de_reacci.C3.B3n_vincular|fuerzas de reacción vincular]] con un par acción-reacción. Un libro situado sobre una mesa experimenta su peso y la reacción de la mesa, pero estas dos fuerzas no constituyen un par. La reacción al peso es la atracción que el libro ejerce sobre la Tierra, y que se situará en el centro de ésta. La fuerza ejercida por la mesa es la reacción de las fuerzas (electromagnéticas) que el libro ejerce sobre ella, debido a la compresión de sus átomos.
* No hay que mezclar acción y reacción con [[Fuerzas de inercia (GIE)|fuerzas de inercia]]. La fuerza centrífuga no es la reacción a la centrípeta, entre otras cosas, porque la fuerza centrífuga no es una verdadera fuerza.
}}


==Sistemas de partículas==
donde <math>x</math> es un vector que contiene todas las variables, salvo el tiempo (es decir, para una partícula no vinculada tendría 6 componentes: las tres de la posición y las tres de la velocidad. Se define un paso de tiempo <math>h</math> y dado el estado n, se calcula el n+1 como
En mecánica consideramos un sistema de partículas como un conjunto de <math>N</math> partículas que se mueven por separado, si bien interactúan entre sí y están sometidos a fuerzas externas.


El número de partículas que forman un sistema puede ser muy variado e ir desde 2 (por ejemplo, al estudiar un átomo de hidrógeno), hasta cantidades gigantescas (por ejemplo, en 1&thinsp;l de agua hay del orden de 10<sup>24</sup> partículas).
<center><math>\begin{array}{rcl}
 
k_1 & = & h f(x_n,t_n)\\
Cuando el número de partículas es reducido se puede abordar el problema dinámico analizando cada una por separado. Cuando es elevado, es preciso recurrir a promedios y descripciones colectivas (como la mecánica estadística, la elasticidad o la mecánica de fluidos).
k_2 & = & h f(x_n+k_1/2,t_n+h/2) \\
 
k_3 & = & h f(x_n+k_2/2,t_n+h/2) \\
Los sistemas se clasifican en abiertos o cerrados. Un ''sistema cerrado'' es aquél en el que no entra ni salen partículas del sistema. Por tanto, su masa permanece constante. Un ''sistema abierto'' es aquel que permite el paso de partículas (y por tanto masa) a través de los límites del sistema. Aquí consideraremos solo sistemas cerrados.
k_4 & = & h f(x_n+k_3,t_n+h) \\
 
t_{n+1} & = & t_n + h \\
Entre las fuerzas internas en un sistema estarían por ejemplo, las fuerzas eléctricas de atracción entre las cargas de un sistema de protones y electrones, o la atracción gravitatoria entre las estrellas de una galaxia. Entre las fuerzas externas figura, por ejemplo, el peso de un sistema de partículas, originado por la atracción de un cuerpo externo como la Tierra.
x_{n+1} & = & x_n + \dfrac{k_1+2k_2+2k_3+k_4}{6}
 
\end{array}</math></center>
Cada una de las partículas del sistema posee una masa propia, <math>m_i</math>, siendo <math>i=1,\ldots,N</math> un índice que sirve para etiquetar individualmente cada una de las partículas. la partícula <math>i</math> está caracterizada por una posición <math>\vec{r}_i</math> y una velocidad <math>\vec{v}_i</math>. Esta posición y esta velocidad evolucionan de acuerdo con las leyes de la dinámica
 
<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t}=\vec{v}_i</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\frac{\mathrm{d}\vec{v}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{m_i}\vec{F}_i</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>i=1,\ldots,N\,</math></center>
 
siendo <math>\vec{F}_i</math> la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula <math>i</math>. Esta resultante se compone de las fuerzas ''internas'' que cada una de las demás partículas del sistema ejerce sobre <math>i</math>, más la resultante de las fuerzas ''externas'' (causadas por un agente externo al sistema) aplicadas sobre ella
 
<center><math>\vec{F}_i =  \vec{F}_{i\mathrm{ext}}+ \vec{F}_{1\to i}+\vec{F}_{2\to i} + \cdots=\vec{F}_\mathrm{ext}+\sum_{k\neq i} \vec{F}_{k\to i}</math></center>
 
Supondremos que las interacciones entre las partículas obedecen la 3&ordf; ley de Newton
 
<center><math>\vec{F}_{k\to i} = -\vec{F}_{i\to k}</math></center>
 
o, lo que es lo mismo
 
<center><math>\vec{F}_{k\to i} +\vec{F}_{i\to k} = \vec{0}</math></center>
 
En la práctica totalidad de los casos se cumplirá además que la fuerza que la partícula <math>k</math> ejerce sobre la <math>i</math> (y por tanto la que la <math>i</math> ejerce sobre la <math>k</math>) va en la dirección de la recta que une ambas partículas. Matemáticamente, esto se expresa imponiendo que el vector <math>\vec{F}_{k\to i}</math> es paralelo a la posición relativa <math>\vec{r}_i-\vec{r}_k</math>, esto es, si


<center><math>(\vec{r}_{i}-\vec{r}_k)\times\vec{F}_{k\to i} = \vec{0}</math></center>
El método de Runge-Kutta es explícito como el de Euler (es decir, conocido el estado actual podemos hallar el siguiente estado sin más información que la función <math>f(x,t)</math>). La precisión de cada paso es de orden <math>h^5</math>, es decir, que si tomamos un paso de 0.1, se alcanza una precisión de 0.00001. Teniendo en cuenta que el número de pasos totales es inversamente proporcional a la duración del paso, la precisión del resultado final es de orden <math>h^4</math>.


Eliminando paréntesis y aplicando la tercera ley de Newton esto equivale a la condición
<center>[[Archivo:euler-rk.png|400px]]</center>


<center><math>\vec{r}_i\times\vec{F}_{k\to i} + \vec{r}_k \times \vec{F}_{i\to k} = \vec{0}</math></center>
Existen mejoras a este método. Una de ellas es emplear el paso ajustable. En lugar de emplear un <math>h</math> fijo se hace cada iteración con el valor del paso anterior. Se vuelve a hacer el cálculo con un Runge-Kutta de 5º orden, más preciso. A partir de la diferencia se fija el siguiente valor de h (más pequeño si diferen mucho, más largo si son muy próximos). En este caso, como se hacen dos pasadas para los puntos, una de orden 4 y otra de orden 5, el método se dice que es (4,5). Esta es la variante que implementa Matlab en su función <code>ode45</code>.


El estudio de la evolución de las partículas que componen un sistema puede ser extraordinariamente complejo cuando hay más de 2 e imposible cuando hay millones, como en un fluido. Por ello, se consideran propiedades colectivas y se analiza su evolución y los casos en que son constantes.
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Revisión actual - 10:17 16 nov 2023

Definición

Una partícula no vinculada es aquella que puede moverse sin obstáculo en las tres direcciones del espacio, aunque puede estar sometida a fuerzas que afectan a su movimiento.

El que pueda describir tres movimientos independientes, y por tanto para especificar su posición se requieran tres coordenadas se expresa diciendo que la partícula tiene 3 grados de libertad.

El número de grados de libertad se expresa como GDL o D.O.F. (degrees of freedom).

El problema fundamental de la dinámica

Determinación de posiciones

En esencia, el problema que se plantea al estudiar la partícula no vinculada es ¿cómo se mueve esto? Es decir, se conoce el estado inicial (posición y velocidad) de la partícula y se conocen las fuerzas que actúan sobre ella (a partir de alguna ley de fuerza: gravitación, electromagnetismo, fuerzas elásticas,…) y a partir de ahí se trata de determinar su posición en un instante posterior.

Matemáticamente se trata de plantear la ecuación de movimiento

o, en forma de ecuación diferencial

A esta euación hay que añadir las condiciones iniciales

Obsérvese que suponemos que la fuerza depende de la posición, la velocidad y el tiempo, pero no de la propia aceleración. Eso es una evidencia física. Cuando se suponen fuerzas dependientes de la aceleración se obtienen resultados físicamente absurdos.

Desde el punto de vista del cálculo es más útil escribir la ecuación de movimiento como ecuaciones diferenciales de primer orden, con lo que queda

con las condiciones iniciales

Considerando que cada vector tiene tres componentes, esto son seis ecuaciones diferenciales de primer orden acopladas (es decir, que no se pueden resolver independientemente, ya que la solución de cada una depende de las demás).

Hay ocasiones en que la solución es trivial (caso de una fuerza constante), en otras existen soluciones analíticas más o menos complejas, pero en la mayoría de los casos la solución de las ecuaciones de movimiento requiere el cálculo numérico. Un ejemplo famoso es el del problema de los tres cuerpos. El movimiento de un cuerpo como un satélite en el campo gravitatorio de otros dos, como la Tierra y la Luna, no puede resolverse analíticamente.

Determinación de fuerzas

No siempre la dinámica de la partícula no vinculada consiste en predecir el movimiento de ésta. En otras ocasiones lo que se conoce es el movimiento (de manera experimental) y el objetivo es determinar la fuerza.

Así, por ejemplo, a partir de las tres leyes de Kepler, empíricas, Newton llegó a la ley de la Gravitación Universal.

Introducción a la solución numérica

Como se ha dicho, en la mayoría de los problemas reales, las ecuaciones de movimiento deben resolverse numéricamente. Para ello existen una gran diversidad de métodos, tanto de aplicación general como específicos para problemas concretos.

A la hora de resolver un problema de este tipo, suele ser interesante seguir un cierto protocolo:

  • Elegir las unidades adecuadas que simplifiquen el problema al máximo, reciendo al mínimo el número de parámetros independientes.
  • Escribir las ecuaciones de movimiento como un sistema de ecuaciones de primer orden.
  • Reducir, cuando sea posible, la complejidad algebraica de las ecuaciones, procurando evitar funciones que requieran tiempo de cálculo elevado.
  • Elegir un paso de tiempo progresivamente más pequeño, hasta alcanzar la precisión deseada.

A continuación explicamos la idea de algúnos métodos simples de aplicación general.

El método de Euler

La idea del método de Euler es simple. Si conocemos la posición, la velocidad y la aceleración en un instante dado, podemos hallar la posición y la velocidad en un instante posterior, suponiendo que la velocidad y la aceleración son prácticamente constantes (lo cual será más o menos cierto si el intervalo de tiempo es muy corto). Con la nueva posición y velocidad, hallamos el nuevo valor de la fuerza y de aquí la nueva aceleración. Repetimos el proceso todas las veces que haga falta.

Matemáticamente el método es el siguiente. Las ecuaciones de movimiento pueden escribirse como dos ecuaciones para las primeras derivadas

Hacemos entonces la aproximación siguiente: una derivada no es más que un cociente entre dos incrementos infinitamente pequeños. Aproximamos entonces las derivadas por incrementos finitos

Teniendo en cuenta que

podemos despejar

Si etiquetamos las sucesivas posiciones y velocidades por un subíndice, nos queda la sucesión

que nos proporciona una tabla de valores de la posición y la velocidad para una lista de valores del tiempo.

¿Cuál es el riesgo del método? Que si la aproximación no es buena, la posición y la velocidad calculadas pueden ser ligeramente errónea, lo que nos dará una fuerza también incorrecta. Esto nos producirá una nueva posición y velocidad aun más incorrecta, y así sucesivamente. Los errores se van acumulando y podemos acabar muy lejos de donde deberíamos estar.

Como ilustración consideremos el caso de un oscilador armónico en una dimensión, que tiene por ecuaciones de movimiento

con condiciones iniciales , Este sistema tiene solución analítica, por lo que puede verse cómo de buena es una aproximación.

Lo primero es elegir unidades adecuadas. Si , y son las unidades

el sistema se convierte en (quitando los asteriscos)

que se simplifica al máximo si hacemos

de forma que el sistema se reduce a



Para un grande (puntos rojos) resultan oscilaciones, pero que se separan rápidamente de la solución exacta (línea verde). Reduciendo el intervalo de tiempo (puntos azules) se obtiene una mejor aproximación. El coste de esta precisión es que requiere más cálculos y por tanto mayor tiempo de computación. Es necesario entonces hallar un balance entre la precisión deseada y los recursos disponibles.

El método de Euler es muy poco preciso y por ello no se usa en la práctica. Existen métodos mucho más refinados, como el Runge-Kutta, que con el mismo número de operaciones produce una mucha mejor aproximación al resultado.

El método de Runge-Kutta

La idea de los métodos de Runge-Kutta es en primer lugar extrapolar como en el método de Euler, pero luego emplear el valor de la derivada en el punto de destino para hallar una nueva extrapolación mejorada. El proceso se puede repetir varias veces, obteniendo mejores grados de aproximación.

Existen diveros métodos de Runge-Kutta, según el grado de aproximación que se desee. La variante más común es el de cuarto orden. En esta variante se escribe el sistema de ecuaciones de primer orden

donde es un vector que contiene todas las variables, salvo el tiempo (es decir, para una partícula no vinculada tendría 6 componentes: las tres de la posición y las tres de la velocidad. Se define un paso de tiempo y dado el estado n, se calcula el n+1 como

El método de Runge-Kutta es explícito como el de Euler (es decir, conocido el estado actual podemos hallar el siguiente estado sin más información que la función ). La precisión de cada paso es de orden , es decir, que si tomamos un paso de 0.1, se alcanza una precisión de 0.00001. Teniendo en cuenta que el número de pasos totales es inversamente proporcional a la duración del paso, la precisión del resultado final es de orden .

Existen mejoras a este método. Una de ellas es emplear el paso ajustable. En lugar de emplear un fijo se hace cada iteración con el valor del paso anterior. Se vuelve a hacer el cálculo con un Runge-Kutta de 5º orden, más preciso. A partir de la diferencia se fija el siguiente valor de h (más pequeño si diferen mucho, más largo si son muy próximos). En este caso, como se hacen dos pasadas para los puntos, una de orden 4 y otra de orden 5, el método se dice que es (4,5). Esta es la variante que implementa Matlab en su función ode45.