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Desarrollo multipolar magnético

De Laplace

Contenido

1 Desarrollo

Supongamos que tenemos una distribución de corriente estacionaria que ocupa una pequeña región del espacio y queremos hallar el campo en puntos alejados.

Cuando se dice “una pequeña región del espacio” se entiende que comparada con la distancia al punto de observación. Matemáticamente:

\delta=\frac{\mathrm{max}(|\mathbf{r}'|)}{r}\ll 1

Como con el campo eléctrico, la idea del desarrollo multipolar es hacer un cálculo aproximado, más sencillo que la integral exacta (la cual puede ser imposible de calcular) mediante el empleo de una serie de Taylor. Partimos de la expresión del potencial vector para el caso de una espira

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}

Aplicando el desarrollo del binomio de Newton

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}+\mathrm{O}(\delta^2)

resulta (de forma no trivial) la expresión aproximada para el potencial vector

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}+\cdots

donde

\mathbf{m}=\frac{I}{2}\oint \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{r}'

es el denominado momento dipolar magnético de la espira.

A una distribución de corriente que produce este potencial vector (y el campo magnético resultante) se le denomina dipolo magnético. Podemos imaginar un dipolo magnético como una pequeña espira de corriente, si bien el concepto es más general:

  • Una distribución de corriente de volumen confinada a una pequeña región del espacio también produce el campo de un dipolo magnético, siendo su momento dipolar
\mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}\,\mathrm{d}\tau'
En particular, este resultado incluye el caso de una distribución de carga en rotación.
  • Lo mismo ocurre para una distribución de corriente superficial
\mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{K}\,\mathrm{d}S'
  • La partículas elementales (electrones, protones,…) producen un campo magnético dipolar, en el que el momento magnético es proporcional al llamado espín de la partícula. Este momento dipolar no está asociado a ninguna corriente “clásica”, pero su comportamiento es análogo.

1.1 Demostración detallada

La obtención de la expresión aproximada del potencial vector no es elemental.

Para empezar hay que justificar el desarrollo de 1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|. Para ello observamos que se puede escribir como

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{\sqrt{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}=\left(r^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'+r^{'2}\right)^{-1/2}

y sacando factor común un r2 de la raíz

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=(r^2)^{-1/2}\left(1-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)^{-1/2} = \frac{1}{r}\left(1+\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)\right)^{-1/2}

Hasta aquí no hay aproximación alguna. Observamos que en el último factor tenemos 1 más algo mucho más pequeño que la unidad (pues r'\ll r). La fórmula general del binomio de Newton nos dice que si x\ll 1

(1+x)^n = 1 + n x + \mathrm{O}(x^2)\,

Aplicando esto al resultado anterior

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\left(1+\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)\right)^{-1/2} = \frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2}\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)+\mathrm{O}(\delta^2)\right)

pero de hecho, el segundo de los dos sumandos del paréntesis también es de orden δ2, por lo que podemos despreciarlo y reducir el desarrollo a

\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\left(1+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\mathrm{O}(\delta^2)\right)=
\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}+\cdots

El segundo paso es sustituir esto en la expresión del potencial vector. Nos queda

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left(\oint\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{r}+\oint\frac{(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}')\mathrm{d}\mathbf{r}'}{r^3}+\cdots\right)

Estas integrales son sobre la variable \mathbf{r}', así que \mathbf{r} es una constante en ellas y puede ser extraído en la medida de lo posible

\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left(\frac{1}{r}\oint\mathrm{d}\mathbf{r}'+\frac{1}{r^3}\oint(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}')\mathrm{d}\mathbf{r}'+\cdots\right)

La primera de estas dos integrales es el desplazamiento neto al recorrer una curva cerrada, por lo que se anula identicamente,

\oint \mathrm{d}\mathbf{r}'=\left.\mathbf{r}'\right|_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_0}=\mathbf{0}

Lo que nos dice este resultado, de nuevo, es que el campo magnético de corrientes estacionarias, no posee término monopolar, esto es, que el campo de corrientes no equivale al campo de cargas magnéticas (monopolos).

El segundo término no se puede integrar de forma inmediata. Para conseguir extraer \mathbf{r} de la integral podemos usar el teorema vectorial, generalización del teorema de Stokes

\oint \mathrm{d}\mathbf{r}' \phi = \int \mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi

que, en nuestro caso da

\oint \mathrm{d}\mathbf{r}'(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}') = \int \mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla'(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}')

pero, como se puede demostrar

\nabla'(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}')=\mathbf{r}

por lo que la integral se convierte en

\oint \mathrm{d}\mathbf{r}'(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}') = \int \mathrm{d}\mathbf{S}\times\mathbf{r}=\mathbf{S}\times\mathbf{r}

y, aplicación la expresión del vector superficie

\mathbf{S}=\frac{1}{2}\oint \mathbf{r}'\times \mathrm{d}\mathbf{r}'

nos queda finalmente

\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathrm{m}\times\mathbf{r}}{r^3}+\cdots        \mathbf{m}=I\mathbf{S}=\frac{I}{2}\oint \mathbf{r}'\times \mathrm{d}\mathbf{r}'

La extensión al caso de una distribución de corriente volumétrica o superficial requiere aun más cálculo vectorial, por lo que nos limitaremos a señalar que puede obtenerse siguiento las reglas usuales de transformación

\int_\Gamma(\ldots)I\mathrm{d}\mathbf{r}'\to \int_S(\ldots)\mathbf{K}\mathrm{d}S'\to\int_\tau(\ldots)\mathbf{J}\mathrm{d}\tau'

2 Ejemplos

2.1 Espira plana

Para una espira plana, el vector superficie es

\mathbf{S}=S\mathbf{n}\,

Siendo S el área de la porción de plano limitada por la curva y n la normal a éste (con el sentido asignado por la regla de la mano derecha. El momento magnético será

\mathbf{m}=IS\mathbf{n}\,

Para una espira circular

\mathbf{m}=I\pi R^2\,\mathbf{n}

2.2 Espira alabeada

Para una espira no contenida en un plano el vector superficie es

\mathbf{S}=S_x\mathbf{u}_x+S_y\mathbf{u}_y+S_z\mathbf{u}_z

con Si las áreas de las proyecciones sobre los planos coordenados.

Como ejemplo, consideremos una espira alabeada formada por tres cuadrantes de circunferencia, de radio R que van de R\mathbf{u}_x a R\mathbf{u}_y, de ahí a R\mathbf{u}_z, y de vuelta a R\mathbf{u}_x. Tal como se ve en artículo sobre el vector superficie, para esta superficie tenemos

\mathbf{m}=I\mathbf{S}=\frac{I\pi R^2}{4}(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y+\mathbf{u}_z)

2.3 Esfera cargada rotante

Artículo completo: Momento magnético de una esfera en rotación

Un caso particular de corriente de volumen localizada en el espacio es el de una distribución de carga en rotación. Este modelo puede ayudar a describir el comportamiento de una partícula cargada, como un electrón, que se caracteriza por un momento angular (el espín), equivalente en ciertos aspectos a una rotación.

Supongamos una esfera de radio R, con una carga q distribuida uniformemente en el volumeny que gira en torno a un eje (que tomaremos como eje Z) con velocidad angular \mathbf{w}. Para este sistema la densidad de corriente es, en esféricas

\mathbf{J}=\rho_0\mathbf{v}=\rho_0\mathbf{w}\times\mathbf{r}=\rho_0\omega r\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\varphi        \rho_0=\frac{q}{4\pi R^3/3}

llevando esto a la integral resulta el momento magnético

\mathbf{m}=\frac{q R^2}{5}\mathbf{w}

Si, para la misma esfera, suponemos una densidad de carga superficial, en vez de volumétrica, el resultado es

\mathbf{m}=\frac{q R^2}{3}\mathbf{w}

3 Campo magnético

Al igual que el potencial vector, el campo magnético posee un desarrollo multipolar , que se puede obtener hallando el rotacional de cada sumando del potencial vector

\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}=\nabla\times\left(\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}\right)+\cdots

Hallando el rotacional del término dipolar queda

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}+\cdots

3.1 Demostración

El rotacional del potencial vector del término dipolar puede calcularse empleando un sistema de coordenadas concreto, por ejemplo, en esféricas, o bien empleando únicamente cálculo vectorial. Si empleamos este camino

\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\nabla\times\left(\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}\right)

Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\left(\nabla\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})\frac{1}{r^3}+\nabla\left(\frac{1}{r^3}\right)\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})\right)

El rotacional del primer sumando se demuestra que vale

\nabla\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})=2\mathbf{m}

mientras que el gradiente que aparece en el segundo sumando se demuestra que vale

\nabla\left(\frac{1}{r^3}\right)=-\frac{3\mathbf{r}}{r^5}

lo que nos deja con

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{2r^2\mathbf{m}-3\mathbf{r}\times(\mathbf{m}\times\mathbf{r})}{r^5}

Desarrollando el doble producto vectorial se llega finalmente a la expresión del campo magnético.

\mathbf{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3\mathbf{m}\cdot\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}

4 Estimación del error cometido

El error cometido al aproximar el campo magnético exacto por su desarrollo multipolar puede estimarse a partir del primer término despreciado. El error relativo suele ser de orden δ o más pequeño, esto es, que si la distancia del punto de observación a la distribución es 5 veces el tamaño de esta distribución, el error será del orden de 1/5 = 20%.

Por ejemplo, para una espira circular el campo en los puntos de su eje es

\mathbf{B}(z)=\frac{\mu_0I R^2\mathbf{u}_z}{2(R^2+z^2)^{3/2}}

A una altura z = 5R este campo vale

\mathbf{B}(5R)=\frac{\mu_0I R^2\mathbf{u}_z}{2(R^2+25R^2)^{3/2}}=\frac{1}{52\sqrt{26}}\,\frac{\mu_0I}{R}\simeq 0.00377 \frac{\mu_0I\mathbf{u}_z}{R}

Empleando el desarrollo multipolar, la espira puede aproximarse por un dipolo de momento

\mathbf{m}=I\pi R^2\mathbf{u}_z

y el campo producido por él en el eje

\mathbf{B}\simeq\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{3(\mathbf{m}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}-r^2\mathbf{m}}{r^5}=\frac{\mu_0IR^2\mathbf{u}_z}{2z^3}

que a una altura z = 5R vale

\mathbf{B}= \frac{1}{250}\,\frac{\mu_0I\mathbf{u}_z}{R}=0.004\,\frac{\mu_0I\mathbf{u}_z}{R}

El error relativo cometido es

\varepsilon = \frac{|\mathbf{B}_\mathrm{apr}-\mathbf{B}_\mathrm{ex}|}{|\mathbf{B}_\mathrm{ex}|}= \frac{52\sqrt{26}-250}{250}=6\%

vemos que el error es de solo el 6%, en vez del 20% previsto. La razón es que por la simetría del sistema el siguiente término se anula y hay que ir a un orden superior, quedando un error del orden de δ2.

Además de proporcionarnos un resultado con un error pequeño, el desarrollo multipolar nos permite hallar el valor del campo para todos los puntos del espacio, y no solo para los puntos del eje.

5 Momentos de orden superior

Como en el desarrollo multipolar eléctrico, existen situaciones en las que el momento dipolar se anula y es preciso ir a órdenes superiores del desarrollo. Así tenemos el cuadrupolo magnético, el octupolo, etc.

Un ejemplo de sistema cuadrupolar lo forman dos espiras muy próximas por las cuales circulan corrientes en sentidos opuestos. En este caso, los campos dipolares se anulan mutuamente, por lo que es necesario recurrir a un orden superior del desarrollo.

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