Cuarto de circunferencia empujando una cuerda, Noviembre 2011 (G.I.C.)

Enunciado

Se tiene un cuarto de circunferencia de radio $R$ como se indica en la figura. Su centro $A$ se mueve con aceleración ${\vec {a}}_{A}=12\,k\,R\,t^{2}\,{\vec {\imath }}$. En el instante inicial el punto $A$ está en el origen de coordenadas con velocidad nula. Una cuerda atada al punto $O$ se apoya sobre el cuarto de circunferencia, de modo que el trozo entre los puntos $C$ y $P$ permanece siempre vertical. La longitud de la cuerda es $l=10\,R$.

1. Determina la unidad base en el sistema internacional de la constante de $k$.
2. Calcula la posición del punto A en un instante arbitrario
3. Determina el vector de posición del punto P en función del tiempo.

Solución

Unidades de la constante $k$

Las unidades de $k$ han de ser tales que la unidades del vector ${\vec {a}}_{A}$ sean $m/s^{2}$. Entonces

$[k]={\dfrac {[{\vec {a}}_{A}]}{[R][t^{2}]}}={\dfrac {ms^{-2}}{ms^{2}}}=s^{-4}$

Posición del punto A

El punto A realiza un movimiento rectilíneo con aceleración $a_{A}=12kRt^{2}$. Además nos dicen que en el instante inicial está en el origen de coordenadas y su velocidad inicial es nula. Integramos la aceleración para obtener la velocidad del punto como función del tiempo

$a_{A}={\dfrac {\mathrm {d} v_{A}}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} v_{A}=a_{A}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \limits _{0}^{v_{A}(t)}\mathrm {d} v_{A}=\int \limits _{0}^{t}a_{A}(t)\,\mathrm {d} t$

Calculando la integral tenemos

$v_{A}(t)=\int \limits _{0}^{t}12kRt^{2}\,\mathrm {d} t=4kRt^{3}$

Integramos otra vez para obtener la posición

$v_{A}={\dfrac {\mathrm {d} x_{A}}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x_{A}=v_{A}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \limits _{0}^{x_{A}(t)}\mathrm {d} x_{A}=\int \limits _{0}^{t}v_{A}(t)\,\mathrm {d} t$

Calculando la integral obtenemos

$x_{A}(t)=\int \limits _{0}^{t}4kRt^{3}\,\mathrm {d} t=kRt^{4}$

Por tanto el vector de posición del punto A en un instante arbitrario es

${\vec {r}}_{A}(t)={\overrightarrow {OA}}(t)=kRt^{4}\,{\vec {\imath }}$

Vector de posición del punto P

Podemos determinar este vector con la siguiente suma vectorial

${\overrightarrow {OP}}={\overrightarrow {OC}}+{\overrightarrow {CP}}$

El vector ${\overrightarrow {OC}}$ es

${\overrightarrow {OC}}={\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {AC}}=kRt^{4}\,{\vec {\imath }}+R\,{\vec {\imath }}=R\,(1+kt^{4})\,{\vec {\imath }}$

Aquí se observa que es coherente que las unidades de $k$ sean $s^{-4}$. De este modo el sumando $kt^{4}$ no tiene dimensiones.

El vector ${\overrightarrow {CP}}$ es de la forma

${\overrightarrow {CP}}=-|{\overrightarrow {CP}}|\,{\vec {\jmath }}$

El módulo del vector es

$|{\overrightarrow {CP}}|=l-{\overline {OB}}+{\overset {\frown }{BC}}$

En esta expresión $l$ es la longitud de la cuerda, ${\overline {OB}}$ la longitud del segmento $OB$ y ${\overset {\frown }{BC}}$ la longitud del arco de circunferencia. Tenemos

${\begin{array}{l}l=10R\\\\{\overline {OB}}={\sqrt {{\overline {OA}}^{2}+{\overline {AB}}^{2}}}={\sqrt {k^{2}R^{2}t^{8}+R^{2}}}=R\,{\sqrt {1+k^{2}t^{8}}}\\\\{\overset {\frown }{BC}}={\dfrac {\pi }{2}}\,R\end{array}}$

Por tanto el vector de posición del punto P es

${\overrightarrow {OP}}(t)=R\,(1+k\,t^{4})\,{\vec {\imath }}-R\,(10-{\dfrac {\pi }{2}}-{\sqrt {1+k^{2}t^{8}}})\,{\vec {\jmath }}$