Deformación de un cable de ascensor

Enunciado

Un ascensor puede llevar una carga máxima de 1000 kg (incluyendo su propia masa). Está suspendido de un cable de acero de 3.00 cm de diámetro y 300 m de longitud cuando está completamente desenrollado. La aceleración máxima del ascensor es $1.50\,\mathrm {m/s^{2}}$. Si el aumento máximo de longitud del cable es de 3.00 cm ¿es seguro montarse en el ascensor? Dato: Módulo de Young del acero: $Y=2.00\times 10^{11}\,\mathrm {N/m^{2}}$.

Solución

El ascensor trabaja sometido a la tensión del cable y a su peso. Si consideramos el eje $Z$ dirigido hacia arriba, cuando el ascensor está subiendo tenemos

$m\,{\vec {a}}={\vec {T}}+m{\vec {g}}\Longrightarrow ma=T-mg$

La tensión en el cable es

$T=m\,(g+a)$

Cuando la aceleración es máxima, la tensión en el cable es

$T_{max}=11.3\,\mathrm {kN}$

Para esta tensión, el alargamiento que sufre el cable depende del módulo de Young. Tenemos

${\dfrac {\Delta L}{L}}={\dfrac {1}{Y}}\,{\dfrac {T}{A}}$

La sección del cable es $A=\pi \,D^{2}/4$. La elongación del cable cuando la aceleración es máxima es

$\Delta L={\dfrac {4LT}{\pi YD^{2}}}=2.40\,\mathrm {cm}$

Esta elongación es menor que la que puede soportar el cable, por lo que en principio el ascensor es seguro. Sin embargo, no está muy lejos del valor crítico, por lo que sería aconsejable estudiar el cable con más cuidado.