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| Línea 1: |
Línea 1: |
| = Enunciado =
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| [[File:MRGIC-PercusionSobreVarilla-Enunciado.png|right|250px]]
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| Una varilla delgada (sólido "2") de masa <math>m</math> y longitud <math>2b</math> está articulada
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| en un pasador (punto <math>A</math>) que desliza sobre el eje fijo <math>OY_1</math>.
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| #Calcula la reducción cinemática en el punto <math>A</math> del movimiento {21}.
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| #Calcula la energía cinética de la varilla y su energía potencial.
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| #Cuando la varilla se encuentra en reposo y con <math>x=0</math> y <math>\theta=0</math>, se aplica en el punto <math>C</math> una percusión <math>\vec{\hat{F}} = \hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)</math>, con <math>\hat{F}_0>0</math>. Determina el movimiento de la varilla justo después de la percusión así como el valor de la percusión vincular en <math>A</math>.
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| #Discute el movimiento del punto <math>A</math> en función del valor de <math>s</math>. ¿Donde está el centro de percusión de <math>A</math>?
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| = Solución =
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| == Reducción cinemática ==
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| La reducción cinemática en el punto <math>A</math> es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}_1,
| |
| \qquad
| |
| \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
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| El sólido tiene dos grados de libertad: <math>\{x,\theta\}</math>.
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| == Energía cinética y potencial ==
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| Calculamos la energía cinética pasando por el centro de masas del sólido
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| <center>
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| <math>
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| T = T_{T} + T_{R}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La energía cinética de traslación es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| T_{T} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La velocidad del centro de masas es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{ll}
| |
| \vec{v}^{\,G}_{21}& = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}
| |
| = -b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (\dot{x} + b\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1
| |
| \\
| |
| & \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1\\
| |
| & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} = (\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times
| |
| (b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) =
| |
| -b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Por tanto, la energía cinética de traslación es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| T_T = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + b^2\dot{\theta}^2 + 2b\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La energía cinética de rotación es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| T_R = \dfrac{1}{2} I_G |\vec{\omega}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}\, \dfrac{1}{12}m(2b)^2\,\dot{\theta}^2
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La energía cinética total es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| T = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \dfrac{2}{3}mb^2\dot{\theta}^2 + mb\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta.
| |
| </math>
| |
| </center>
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|
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| La única fuerza conservartiva en el problema es la gravedad. Tomando como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del punto <math>O</math> tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| U = U_g = -mgb\cos\theta.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
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| == Percusión ==
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| La velocidad del punto <math>C</math> es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \begin{array}{ll}
| |
| \vec{v}^{\,C}_{21}& = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
| |
| = -s\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + (\dot{x} + s\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1
| |
| \\
| |
| & \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1\\
| |
| & \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC} = (\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times
| |
| (s\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + s\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) =
| |
| -s\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + s\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
| |
| \end{array}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
|
| |
| La función de Lagrange es
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| <center>
| |
| <math>
| |
| L = T - U = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \dfrac{2}{3}mb^2\dot{\theta}^2 + mb\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta + mgb\cos\theta
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Como hay dos grados de libertad, tendremos dos ecuaciones de Lagrange percusivas
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \Delta p_x = \hat{Q}^{NC}_x,
| |
| \qquad
| |
| \Delta p_{\theta} = \hat{Q}^{NC}_{\theta}.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Para la primera tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| p_x = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} + mb\dot{\theta}\cos\theta
| |
| \Longrightarrow
| |
| \Delta p_x = \left.(m\Delta\dot{x} + mb\Delta\dot{\theta}\cos\theta)\right|_{x=0, \theta=0}
| |
| =
| |
| m\Delta\dot{x} + mb\Delta\dot{\theta}.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La percusión generalizada para la coordenada <math>x</math> es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \hat{Q}^{NC}_x = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,C}_{21}}{\partial\dot{x}}
| |
| = \left.\hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\cdot(\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0, \theta=0}
| |
| =\hat{F}_0
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Obtenemos así la ecuación
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta} = \hat{F}_0/m\qquad (1)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Procedemos de manera similar para <math>\theta</math>
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| p_{\theta} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \dfrac{4}{3}mb^2\dot{\theta} + mb\dot{x}\cos\theta
| |
| \Longrightarrow
| |
| \Delta p_{\theta} = \left.(\dfrac{4}{3}mb^2\Delta\dot{\theta} + mb\Delta\dot{x}\cos\theta)\right|_{x=0, \theta=0}
| |
| =
| |
| \dfrac{4}{3}mb^2\Delta\dot{\theta} + mb\Delta\dot{x}.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La percusión generalizada para la coordenada <math>\theta</math> es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \hat{Q}^{NC}_{\theta} = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,C}_{21}}{\partial\dot{\theta}}
| |
| = \left.\hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\cdot(-s\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + s\cos\theta\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0, \theta=0}
| |
| =\hat{F}_0s
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Obtenemos así la ecuación
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| 3\Delta\dot{x} + 4b\Delta\dot{\theta} = \dfrac{3\hat{F}_0s}{mb} \qquad (2)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Resolviendo para <math>\Delta\dot{x}</math> y <math>\Delta\dot{\theta}</math> obtenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \Delta\dot{x} = \dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s),
| |
| \qquad
| |
| \Delta\dot{\theta} = -\dfrac{3\hat{F}_0}{mb^2}\,(b-s)
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Como la barra parte del reposo: <math>\dot{x}^- = \dot{\theta}^-=0</math>. Por tanto
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \dot{x}^+ = \dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s),
| |
| \qquad
| |
| \dot{\theta}^+ = -\dfrac{3\hat{F}_0}{mb^2}\,(b-s)
| |
| </math>
| |
| </center>
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| [[File:MRGIC-PercusionSobreVarilla-Percusiones.png|right]]
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| La figura de la derecha muestra las percusiones que actúan sobre la barra, a saber, la percusión libre <math>\vec{\hat{F}}</math> y la percusión vincular <math>\vec{\hat{A}}</math>. Aplicando el T.C.M Percusivo tenemos
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| <center>
| |
| <math>
| |
| \Delta\vec{C} = \vec{\hat{F}} + \vec{\hat{A}}
| |
| \Longrightarrow
| |
| \vec{\hat{A}} = \Delta\vec{C} - \vec{\hat{F}}
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| La variación de la cantidad de movimiento es
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \Delta\vec{C} = m\Delta\vec{v}^{\,G}_{21} =
| |
| \left.(-b\Delta\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (\Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0,\theta=0}
| |
| = (\Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta})\,\vec{\jmath}_1.
| |
| </math>
| |
| </center>
| |
| Utilizando la solución calculada antes tenemos
| |
| <center>
| |
| <math>
| |
| \vec{\hat{A}} = \hat{F}_0\,\vec{\imath}_1
| |
| </math>
| |
| </center>
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|
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| == Movimiento de <math>A</math> en función de <math>s</math> ==
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| La velocidad de <math>A</math> justo después de la percusión es
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| <center>
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| <math>
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| \vec{v}^{\,A+}_{21} = \dot{x}^+\,\vec{\jmath}_1 =
| |
| \dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s)\,\vec{\jmath}_1
| |
| </math>
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| </center>
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| Vemos que si <math>s=s_p=4b/3</math> esta velocidad es nula. Ese valor de <math>s</math> indica la posición del centro de percusión de <math>A</math>. Si <math>s<s_p</math> (la parte de arriba de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la derecha. Si <math>s>s_p</math> (la parte de abajo de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la izquierda.
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| [[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]
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| [[Categoría:Problemas de Dinámica Impulsiva]]
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