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Enunciado

Una varilla delgada (sólido "2") de masa $m$ y longitud $2b$ está articulada en un pasador (punto $A$ ) que desliza sobre el eje fijo $OY_{1}$ .

Calcula la reducción cinemática en el punto $A$ del movimiento {21}.
Calcula la energía cinética de la varilla y su energía potencial.
Cuando la varilla se encuentra en reposo y con $x=0$ y $\theta =0$ , se aplica en el punto $C$ una percusión ${\vec {\hat {F}}}={\hat {F}}_{0}\,(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})$ , con ${\hat {F}}_{0}>0$ . Determina el movimiento de la varilla justo después de la percusión así como el valor de la percusión vincular en $A$ .
Discute el movimiento del punto $A$ en función del valor de $s$ . ¿Donde está el centro de percusión de $A$ ?

Solución

Reducción cinemática

La reducción cinemática en el punto $A$ es

${\vec {\omega }}_{21}={\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1},\qquad {\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}$

El sólido tiene dos grados de libertad: $\{x,\theta \}$ .

Energía cinética y potencial

Calculamos la energía cinética pasando por el centro de masas del sólido

$T=T_{T}+T_{R}$

La energía cinética de traslación es

$T_{T}={\dfrac {1}{2}}m|{\vec {v}}_{21}^{\,G}|^{2}$

La velocidad del centro de masas es

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,G}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=-b{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+({\dot {x}}+b{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1})\times (b\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})=-b{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+b{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

Por tanto, la energía cinética de traslación es

$T_{T}={\dfrac {1}{2}}m\,({\dot {x}}^{2}+b^{2}{\dot {\theta }}^{2}+2b{\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta )$

La energía cinética de rotación es

$T_{R}={\dfrac {1}{2}}I_{G}|{\vec {\omega }}_{21}|^{2}={\dfrac {1}{2}}\,{\dfrac {1}{12}}m(2b)^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}$

La energía cinética total es

$T={\dfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\dfrac {2}{3}}mb^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mb{\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta .$

La única fuerza conservartiva en el problema es la gravedad. Tomando como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del punto $O$ tenemos

$U=U_{g}=-mgb\cos \theta .$

Percusión

La velocidad del punto $C$ es

${\begin{array}{ll}{\vec {v}}_{21}^{\,C}&={\vec {v}}_{21}^{\,A}+{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}=-s{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta +({\dot {x}}+s{\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {v}}_{21}^{\,A}={\dot {x}}\,{\vec {\jmath }}_{1}\\&{\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AC}}=({\dot {\theta }}\,{\vec {k}}_{1})\times (s\cos \theta \,{\vec {\imath }}_{1}+s\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\jmath }}_{1})=-s{\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+s{\dot {\theta }}\cos \theta \,{\vec {\jmath }}_{1}\end{array}}$

La función de Lagrange es

$L=T-U={\dfrac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+{\dfrac {2}{3}}mb^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mb{\dot {x}}{\dot {\theta }}\cos \theta +mgb\cos \theta$

Como hay dos grados de libertad, tendremos dos ecuaciones de Lagrange percusivas

$\Delta p_{x}={\hat {Q}}_{x}^{NC},\qquad \Delta p_{\theta }={\hat {Q}}_{\theta }^{NC}.$

Para la primera tenemos

$p_{x}={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}+mb{\dot {\theta }}\cos \theta \Longrightarrow \Delta p_{x}=\left.(m\Delta {\dot {x}}+mb\Delta {\dot {\theta }}\cos \theta )\right|_{x=0,\theta =0}=m\Delta {\dot {x}}+mb\Delta {\dot {\theta }}.$

La percusión generalizada para la coordenada $x$ es

${\hat {Q}}_{x}^{NC}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,C}}{\partial {\dot {x}}}}=\left.{\hat {F}}_{0}\,(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\cdot ({\vec {\jmath }}_{1})\right|_{x=0,\theta =0}={\hat {F}}_{0}$

Obtenemos así la ecuación

$\Delta {\dot {x}}+b\Delta {\dot {\theta }}={\hat {F}}_{0}/m\qquad (1)$

Procedemos de manera similar para $\theta$

$p_{\theta }={\dfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}={\dfrac {4}{3}}mb^{2}{\dot {\theta }}+mb{\dot {x}}\cos \theta \Longrightarrow \Delta p_{\theta }=\left.({\dfrac {4}{3}}mb^{2}\Delta {\dot {\theta }}+mb\Delta {\dot {x}}\cos \theta )\right|_{x=0,\theta =0}={\dfrac {4}{3}}mb^{2}\Delta {\dot {\theta }}+mb\Delta {\dot {x}}.$

La percusión generalizada para la coordenada $\theta$ es

${\hat {Q}}_{\theta }^{NC}={\vec {\hat {F}}}\cdot {\dfrac {\partial {\vec {v}}_{21}^{\,C}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\left.{\hat {F}}_{0}\,(-{\vec {\imath }}_{1}+{\vec {\jmath }}_{1})\cdot (-s\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+s\cos \theta {\vec {\jmath }}_{1})\right|_{x=0,\theta =0}={\hat {F}}_{0}s$

Obtenemos así la ecuación

$3\Delta {\dot {x}}+4b\Delta {\dot {\theta }}={\dfrac {3{\hat {F}}_{0}s}{mb}}\qquad (2)$

Resolviendo para $\Delta {\dot {x}}$ y $\Delta {\dot {\theta }}$ obtenemos

$\Delta {\dot {x}}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{mb}}\,(4b-3s),\qquad \Delta {\dot {\theta }}=-{\dfrac {3{\hat {F}}_{0}}{mb^{2}}}\,(b-s)$

Como la barra parte del reposo: ${\dot {x}}^{-}={\dot {\theta }}^{-}=0$ . Por tanto

${\dot {x}}^{+}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{mb}}\,(4b-3s),\qquad {\dot {\theta }}^{+}=-{\dfrac {3{\hat {F}}_{0}}{mb^{2}}}\,(b-s)$

La figura de la derecha muestra las percusiones que actúan sobre la barra, a saber, la percusión libre ${\vec {\hat {F}}}$ y la percusión vincular ${\vec {\hat {A}}}$ . Aplicando el T.C.M Percusivo tenemos

$\Delta {\vec {C}}={\vec {\hat {F}}}+{\vec {\hat {A}}}\Longrightarrow {\vec {\hat {A}}}=\Delta {\vec {C}}-{\vec {\hat {F}}}$

La variación de la cantidad de movimiento es

$\Delta {\vec {C}}=m\Delta {\vec {v}}_{21}^{\,G}=\left.(-b\Delta {\dot {\theta }}\,\mathrm {sen} \,\theta \,{\vec {\imath }}_{1}+(\Delta {\dot {x}}+b\Delta {\dot {\theta }}\cos \theta )\,{\vec {\jmath }}_{1})\right|_{x=0,\theta =0}=(\Delta {\dot {x}}+b\Delta {\dot {\theta }})\,{\vec {\jmath }}_{1}.$

Utilizando la solución calculada antes tenemos

${\vec {\hat {A}}}={\hat {F}}_{0}\,{\vec {\imath }}_{1}$

Movimiento de $A$ en función de $s$

La velocidad de $A$ justo después de la percusión es

${\vec {v}}_{21}^{\,A+}={\dot {x}}^{+}\,{\vec {\jmath }}_{1}={\dfrac {{\hat {F}}_{0}}{mb}}\,(4b-3s)\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Vemos que si $s=s_{p}=4b/3$ esta velocidad es nula. Ese valor de $s$ indica la posición del centro de percusión de $A$ . Si $s<s_{p}$ (la parte de arriba de la barra) el punto $A$ se mueve hacia la derecha. Si $s>s_{p}$ (la parte de abajo de la barra) el punto $A$ se mueve hacia la izquierda.

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Sumario

Enunciado

Solución

Reducción cinemática

Energía cinética y potencial

Percusión

Movimiento de $A$ en función de $s$

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@@ Línea 1: / Línea 1: @@
+= Enunciado =
+[[File:MRGIC-PercusionSobreVarilla-Enunciado.png|right|250px]]
+Una varilla delgada (sólido "2") de masa <math>m</math> y longitud <math>2b</math> está articulada
+en un pasador (punto <math>A</math>) que desliza sobre el eje fijo <math>OY_1</math>.
+#Calcula la reducción cinemática en el punto <math>A</math> del movimiento  {21}.
+#Calcula la energía cinética de la varilla y su energía potencial.
+#Cuando la varilla se encuentra en reposo y con <math>x=0</math> y <math>\theta=0</math>, se aplica en el punto <math>C</math> una percusión <math>\vec{\hat{F}} = \hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1 + \vec{\jmath}_1)</math>, con <math>\hat{F}_0>0</math>. Determina el movimiento de la varilla justo después de la percusión así como el valor de la percusión vincular en <math>A</math>.
+#Discute el movimiento del punto <math>A</math> en función del valor de <math>s</math>. ¿Donde está el centro de percusión de <math>A</math>?
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+== Reducción cinemática ==
+La reducción cinemática en el punto <math>A</math> es
+<center>
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+\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}_1,
+\qquad
+\vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1
+</math>
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+El sólido tiene dos grados de libertad: <math>\{x,\theta\}</math>.
+== Energía cinética y potencial ==
+Calculamos la energía cinética pasando por el centro de masas del sólido
+<center>
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+</center>
+La energía cinética de traslación es
+<center>
+<math>
+T_{T} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2
+</math>
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+La velocidad del centro de masas es
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+\begin{array}{ll}
+\vec{v}^{\,G}_{21}& = \vec{v}^{\,A}_{21}  + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}
+= -b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + (\dot{x} + b\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1
+\\
+& \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{x}\,\vec{\jmath}_1\\
+& \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} = (\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times
+(b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1) =
+-b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1
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+</center>
+Por tanto, la energía cinética de traslación es
+<center>
+<math>
+T_T = \dfrac{1}{2}m\,(\dot{x}^2 + b^2\dot{\theta}^2 + 2b\dot{x}\dot{\theta}\cos\theta)
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+</center>
+La energía cinética de rotación es
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+La energía cinética total es
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+<math>
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+La única fuerza conservartiva en el problema es la gravedad. Tomando como referencia de energía potencial gravitatoria la altura del punto <math>O</math> tenemos
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+U = U_g = -mgb\cos\theta.
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+== Percusión ==
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+La función de Lagrange es
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+Como hay dos grados de libertad, tendremos dos ecuaciones de Lagrange percusivas
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+<math>
+\Delta p_x = \hat{Q}^{NC}_x,
+\qquad
+\Delta p_{\theta} = \hat{Q}^{NC}_{\theta}.
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+</center>
+Para la primera tenemos
+<center>
+<math>
+p_x = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m\dot{x} + mb\dot{\theta}\cos\theta
+\Longrightarrow
+\Delta p_x = \left.(m\Delta\dot{x} + mb\Delta\dot{\theta}\cos\theta)\right|_{x=0, \theta=0}
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+La percusión generalizada para la coordenada <math>x</math> es
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+= \left.\hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\cdot(\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0, \theta=0}
+=\hat{F}_0
+</math>
+</center>
+Obtenemos así la ecuación
+<center>
+<math>
+\Delta\dot{x} + b\Delta\dot{\theta} = \hat{F}_0/m\qquad (1)
+</math>
+</center>
+Procedemos de manera similar para <math>\theta</math>
+<center>
+<math>
+p_{\theta} = \dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = \dfrac{4}{3}mb^2\dot{\theta} + mb\dot{x}\cos\theta
+\Longrightarrow
+\Delta p_{\theta} = \left.(\dfrac{4}{3}mb^2\Delta\dot{\theta} + mb\Delta\dot{x}\cos\theta)\right|_{x=0, \theta=0}
+=
+\dfrac{4}{3}mb^2\Delta\dot{\theta} + mb\Delta\dot{x}.
+</math>
+</center>
+La percusión generalizada para la coordenada <math>\theta</math> es
+<center>
+<math>
+\hat{Q}^{NC}_{\theta} = \vec{\hat{F}}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,C}_{21}}{\partial\dot{\theta}}
+= \left.\hat{F}_0\,(-\vec{\imath}_1+\vec{\jmath}_1)\cdot(-s\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + s\cos\theta\vec{\jmath}_1)\right|_{x=0, \theta=0}
+=\hat{F}_0s
+</math>
+</center>
+Obtenemos así la ecuación
+<center>
+<math>
+\Delta\dot{x} + 4b\Delta\dot{\theta} = \dfrac{3\hat{F}_0s}{mb} \qquad (2)
+</math>
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+Resolviendo para <math>\Delta\dot{x}</math> y <math>\Delta\dot{\theta}</math> obtenemos
+<center>
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+\Delta\dot{x} = \dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s),
+\qquad
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+\qquad
+\dot{\theta}^+ = -\dfrac{3\hat{F}_0}{mb^2}\,(b-s)
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+[[File:MRGIC-PercusionSobreVarilla-Percusiones.png|right]]
+La figura de la derecha muestra las percusiones que actúan sobre la barra, a saber, la percusión libre <math>\vec{\hat{F}}</math> y la percusión vincular <math>\vec{\hat{A}}</math>. Aplicando el T.C.M Percusivo tenemos
+<center>
+<math>
+\Delta\vec{C} = \vec{\hat{F}} + \vec{\hat{A}}
+\Longrightarrow
+\vec{\hat{A}} = \Delta\vec{C} - \vec{\hat{F}}
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+La variación de la cantidad de movimiento es
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+\Delta\vec{C} = m\Delta\vec{v}^{\,G}_{21} =
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+Utilizando la solución calculada antes tenemos
+<center>
+<math>
+\vec{\hat{A}} = \hat{F}_0\,\vec{\imath}_1
+</math>
+</center>
+== Movimiento de <math>A</math> en función de <math>s</math> ==
+La velocidad de <math>A</math> justo después de la percusión es
+<center>
+<math>
+\vec{v}^{\,A+}_{21} = \dot{x}^+\,\vec{\jmath}_1 =
+\dfrac{\hat{F}_0}{mb}\,(4b-3s)\,\vec{\jmath}_1
+</math>
+</center>
+Vemos que si <math>s=s_p=4b/3</math> esta velocidad es nula. Ese valor de <math>s</math> indica la posición del centro de percusión de <math>A</math>. Si <math>s<s_p</math> (la parte de arriba de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la derecha. Si <math>s>s_p</math> (la parte de abajo de la barra) el punto <math>A</math> se mueve hacia la izquierda.
+[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]
+[[Categoría:Problemas de Dinámica Impulsiva]]

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Enunciado

Solución

Reducción cinemática

Energía cinética y potencial

Percusión

Movimiento de A {\displaystyle A} en función de s {\displaystyle s}

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Movimiento de $A$ en función de $s$