Ejemplo de operaciones con dos vectores

Enunciado

Dados los vectores

${\vec {v}}=2.0{\vec {\imath }}+3.5{\vec {\jmath }}-4.2{\vec {k}}\qquad \qquad {\vec {a}}=4.5{\vec {\imath }}-2.2{\vec {\jmath }}+1.5{\vec {k}}$

1. ¿Qué ángulo forman estos dos vectores?
2. ¿Qué área tiene el paralelogramo que tiene a estos dos vectores por lados?
3. Escriba ${\vec {a}}$ como suma de dos vectores, uno paralelo a ${\vec {v}}$ y otro ortogonal a él.

Ángulo

Obtenemos el ángulo a partir del producto escalar de los dos vectores

${\vec {v}}\cdot {\vec {a}}=|{\vec {v}}||{\vec {a}}|\cos(\alpha )\qquad \Rightarrow \qquad \alpha =\arccos \left({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{|{\vec {v}}||{\vec {a}}|}}\right)$

Tenemos que

${\vec {v}}\cdot {\vec {a}}=(2.0)(4.5)+(3.5)(-2.2)+(-4.2)(1.5)=-5.0$

y que

$|{\vec {v}}|={\sqrt {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}={\sqrt {2.0^{2}+3.5^{2}+(-4.2)^{2}}}=5.82\qquad |{\vec {a}}|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}={\sqrt {4.5^{2}+(-2.3)^{2}+(1.5)^{2}}}=5.23$

lo que nos da

$\cos(\alpha )={\frac {-5.0}{5.82\cdot 5.23}}=-0.164\qquad \Rightarrow \qquad \alpha =1.74\,\mathrm {rad} =99.5^{\circ }$

Área

Podemos hallar el área a partir de lo que ya sabemos

$S=|{\vec {v}}||{\vec {a}}||\mathrm {sen} (\alpha )|=30.0$

o bien a partir del producto vectorial

${\vec {v}}\times {\vec {a}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2.0&3.5&-4.2\\4.5&-2.2&1.5\end{matrix}}\right|=-3.99{\vec {\imath }}-21.9{\vec {\jmath }}-20.2{\vec {k}}$

cuyo módulo vale

$S={\sqrt {(-3.99)^{2}+(-21.9)^{2}+(20.15)^{2}}}=30.0$

Descomposición

Para descomponer el vector ${\vec {a}}$ aplicamos el doble producto vectorial para obtener

${\vec {a}}_{\parallel }={\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {a}}){\vec {v}}}{|{\vec {v}}|^{2}}}\qquad \qquad {\vec {a}}_{\perp }={\frac {({\vec {v}}\times {\vec {a}})\times {\vec {v}}}{|{\vec {v}}|^{2}}}$

Conocemos aquí todas las cantidades salvo

$({\vec {v}}\times {\vec {a}})\times {\vec {v}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\-3.99&-21.9&-20.2\\2.0&3.5&-4.2\end{matrix}}\right|=162{\vec {\imath }}-57.1{\vec {\jmath }}+29.8{\vec {k}}$

Sustituyendo en las expresiones anteriores nos queda, para la parte paralela

${\vec {a}}_{\parallel }={\frac {(-5.0)(2.0{\vec {\imath }}+3.5{\vec {\jmath }}-4.2{\vec {k}})}{(5.82)^{2}}}=-0.30{\vec {\imath }}-0.52{\vec {\jmath }}+0.62{\vec {k}}$

y para la normal

${\vec {a}}_{\perp }={\frac {162{\vec {\imath }}-57.1{\vec {\jmath }}+29.8{\vec {k}}}{(5.82)^{2}}}=4.8{\vec {\imath }}-1.68{\vec {\jmath }}+0.88{\vec {k}}$

Por supuesto, también podíamos haber hallado esta parte simplemente restando del vector ${\vec {a}}$.