Enunciado

Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno

y del seno

en un triángulo de lados , y , y ángulos opuestos , y .

Teorema del coseno

Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados,

se verifica la ecuación vectorial

Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma

Desarrollando el producto escalar

El ángulo que forman los vectores y no es igual a C, ya que para poder medir el ángulo que forman dos vectores deben tener un origen común. Trasladando el vector vemos que

por lo que finalmente obtenemos

que es el teorema del coseno.

Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.

En el caso particular de un triángulo rectángulo, el coseno se anula y el teorema se reduce al de Pitágoras

Teorema del seno

El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto

Desarrollando los módulos de los productos vectoriales

Dividiendo por el producto y multiplicando por 2 nos queda

que es el teorema del seno.