Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Coordenadas esféricas. Definición

De Laplace

Contenido

1 Definición

Las coordenadas esféricas constituyen otra generalización de las coordenadas polares del plano, a base de girarlas alrededor de un eje. Su definición es la siguiente:
  • La coordenada radial r\,: distancia al origen
  • La coordenada polar \theta\,: ángulo que el vector de posición forma con el eje Z\,.
  • La coordenada acimutal \varphi: ángulo que la proyección sobre el plano XY\, forma con el eje X\,.

Los rangos de variación de estas coordenadas son:

r\in [0,\infty)\qquad \theta\in [0,\pi]\qquad{\varphi} \in (-\pi,\pi]

El ángulo \varphi también puede variar en el intervalo [0,2π).

1.1 r\, es siempre positiva

La coordenada radial es una distancia siempre positiva. Si, partiendo de un punto P\,, vamos reduciendo el valor de r\,, al atravesar el origen de coordenadas r\, vuelve a aumentar. Lo que cambian son los valores de \theta\,, que pasa a valer \pi-\theta\, (¿Por qué?) y \varphi, que pasa a ser {\varphi}\pm \pi (¿Por qué?).

1.2 \theta\, vale \pi\, como mucho, no 2\pi\,

Es un error muy común el suponer que \theta\, llega hasta 2\pi\,, como {\varphi}. Hay que recordar que ambas coordenadas tienen significados geométricos muy diferentes. {\varphi} equivale a la longitud geográfica, mientras que \theta\, es el complementario de la latitud.

El valor \theta = 0\, corresponde al Polo Norte. Si ahora aumentamos \theta\,, lo que hacemos es viajar hacia al sur. El Polo Sur es \theta=\pi\,. Y es lo máximo a lo que podemos llegar. No se puede viajar al sur del Polo Sur. Si siguiéramos recorriendo la superficie terrestre lo que estaríamos haciendo es ya volver hacia el norte, lo que supone reducir \theta\,. Eso sí, al pasar por el Polo Sur, la longitud {\varphi} cambia a {\varphi}\pm \pi.

1.3 Geografía...

El uso más evidente de las coordenadas esféricas lo constituye la geografía. Para identificar un punto de la superficie terrestre indicamos su latitud y su longitud.

La latitud es la altura respecto al ecuador. Este ángulo es el complementario de la coordenada polar \theta\, (por lo cual a ésta se la llama también colatitud). La latitud, en lugar de variar de 0\, (en el Polo Norte) a \pi\, (en el Polo Sur) lo hace desde 90^\circ a -90^\circ.

La longitud es la distancia angular respecto a un meridiano fijo (el de Greenwich). Equivale a la coordenada acimutal {\varphi}.

La coordenada radial corresponde a la distancia al centro de la Tierra. La altitud z\, de un punto de la superficie equivale al valor de r= z + R_T\, con R_T\, el radio de la Tierra (suponiendo ésta una esfera, lo que es solo una aproximación).

1.4 ...y astronomía

Para situar las estrellas en el firmamento también es preciso emplear coordenadas esféricas. Existen varias posibilidades, siendo la más usada la formada por la ascensión recta y la declinación.

La declinación es el equivalente de la latitud, medida en este caso respecto al ecuador celeste y la ascensión recta corresponde a la longitud, medida desde un punto de referencia conocido como punto vernal (o punto Aries).

La coordenada radial sería la distancia a la cual se encuentran las estrellas respecto de la Tierra.

2 Enlaces

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 19:53, 12 feb 2010. - Esta página ha sido visitada 89.610 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace