Velocidad inversamente proporcional a la posición (GIOI)

Enunciado

En un movimiento rectilíneo, la velocidad de una partícula sigue la ley como función de la posición $v=K/x$. Inicialmente se encuentra en $x_{0}$. ¿Qué ley sigue la posición como función del tiempo?

Solución

Igualamos la velocidad a su expresión

${\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}={\frac {K}{x}}$

Separamos variables

$x\,\mathrm {d} x=K\,\mathrm {d} t$

e integramos

$\int _{x_{0}}^{x}x\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{t}K\,\mathrm {d} t\qquad \Rightarrow \qquad {\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x_{0}^{2}}{2}}=Kt$

y despejamos

$x={\sqrt {x_{0}^{2}+2Kt}}$