Ángulo que forman dos vectores (G.I.A.)

Enunciado

Calcule el angulo que forman los vectores ${\vec {a}}=2\,{\vec {\imath }}+3\,{\vec {\jmath }}-{\vec {k}}$ y ${\vec {b}}=-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}+2\,{\vec {k}}$. Calcule también los cosenos directores de ambos vectores.

Solución

El producto escalar de dos vectores es

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|\,\cos \theta$

siendo $\theta$ el ángulo que forman los vectores. Es decir

$\cos \theta ={\dfrac {{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}}{|{\vec {a}}|\,|{\vec {b}}|}}$

Como están expresados en una base cartesiana es fácil hacer estas operaciones. El producto escalar es

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=-2+3-2=-1$

Los módulos de los vectores son

${\begin{array}{l}|{\vec {a}}|={\sqrt {{\vec {a}}\cdot {\vec {a}}}}={\sqrt {4+9+1}}={\sqrt {14}}\\\\|{\vec {b}}|={\sqrt {{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}}}={\sqrt {1+1+4}}={\sqrt {6}}\end{array}}$

El coseno del ángulo es

$\cos \theta =-{\dfrac {1}{{\sqrt {14}}{\sqrt {6}}}}=-0.109$

El ángulo es

$\theta =1.68\,\mathrm {rad} =96.3\,\mathrm {^{\circ }}$

Los cosenos directores son los cosenos de los ángulos que forma el vector con los ejes coordenados. Para el vector ${\vec {a}}$ tenemos

${\begin{array}{l}\cos \alpha _{x}={\dfrac {{\vec {a}}\cdot {\vec {\imath }}}{|{\vec {a}}|\,|{\vec {\imath }}|}}={\dfrac {a_{x}}{|{\vec {a}}|}}=0.535\\\\\cos \alpha _{y}={\dfrac {{\vec {a}}\cdot {\vec {\jmath }}}{|{\vec {a}}|\,|{\vec {\jmath }}|}}={\dfrac {a_{y}}{|{\vec {a}}|}}=0.802\\\\\cos \alpha _{z}={\dfrac {{\vec {a}}\cdot {\vec {k}}}{|{\vec {a}}|\,|{\vec {k}}|}}={\dfrac {a_{z}}{|{\vec {a}}|}}=-0.267\end{array}}$

Puede comprobarse que $\cos ^{2}\alpha _{x}+\cos ^{2}\alpha _{y}+\cos ^{2}\alpha _{z}=1.00$

Para el vector ${\vec {b}}$ tenemos

${\begin{array}{l}\cos \beta _{x}={\dfrac {{\vec {b}}\cdot {\vec {\imath }}}{|{\vec {b}}|\,|{\vec {\imath }}|}}={\dfrac {b_{x}}{|{\vec {b}}|}}=-0.408\\\\\cos \beta _{y}={\dfrac {{\vec {b}}\cdot {\vec {\jmath }}}{|{\vec {b}}|\,|{\vec {\jmath }}|}}={\dfrac {b_{y}}{|{\vec {b}}|}}=0.408\\\\\cos \beta _{z}={\dfrac {{\vec {b}}\cdot {\vec {k}}}{|{\vec {b}}|\,|{\vec {k}}|}}={\dfrac {b_{z}}{|{\vec {b}}|}}=0.816\end{array}}$