Producto vectorial de dos vectores (G.I.A.)

Enunciado

Calcule el producto vectorial de los vectores ${\vec {a}}=2.00\,{\vec {\imath }}+3.00\,{\vec {\jmath }}-1.00\,{\vec {k}}$, ${\vec {a}}=-1.00\,{\vec {\imath }}+1.00\,{\vec {\jmath }}+2.00\,{\vec {k}}$, así como el área del triángulo que forman. Considere que las componentes vienen dadas en metros.

Solución

Como vienen dados en una base cartesiana, el producto vectorial puede calcularse usando el determinante

${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\left|{\begin{array}{ccc}{\vec {\imath }}&{\vec {\jmath }}&{\vec {k}}\\2&3&-1\\-1&1&2\\\end{array}}\right|=(6+1)\,{\vec {\imath }}-(4-1)\,{\vec {\jmath }}+(2+3)\,{\vec {k}}=7\,{\vec {\imath }}-3\,{\vec {\jmath }}+5\,{\vec {k}}$

Área del triángulo que forman

El módulo del producto vectorial de los dos vectores es igual al área del paralelogramo que forman. Así pues, el área del triángulo es

$\mathrm {Area} _{\triangle }={\frac {1}{2}}|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|={\frac {1}{2}}{\sqrt {49+9+25}}=4.56\,\mathrm {m^{2}}$