Giro de un triedro (G.I.A.)

Enunciado

Los triedros $O_{1}X_{1}Y_{1}Z_{1}$ y $OX_{0}Y_{0}Z_{0}$ están definidos de modo que sus orígenes y los ejes $O_{1}Z_{1}$ coinciden. El triedro "1" está en reposo y el triedro "0" gira respecto al "1" con velocidad angular uniforme ${\vec {\omega }}_{01}=\omega \,{\vec {k}}_{1}=\omega \,{\vec {k}}_{0}$, de modo que el ángulo $\theta$ indicado en la figura es $\theta =\omega \,t$.

1. Calcula las derivadas de los vectores de la base del triedro "0" vistos desde el triedro "1".
2. Dado el vector ${\vec {A}}(t)=a\,{\vec {\imath }}_{0}$ calcula

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}\qquad \qquad \left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}$

1. Expresa el resultado en los vectores de la base móvil (triedro "0") y la base fija (triedro "1").
2. Haz el mismo cálculo para el vector ${\vec {B}}(t)=b\,t\,{\vec {\imath }}_{0}$

Solución

Derivada temporal de los vectores de la base móvil

El sólido "0" rota respecto al sólido "1" con una velocidad angular ${\vec {\omega }}_{01}=\omega \,{\vec {k}}_{0}=\omega \,{\vec {k}}_{1}$, con $\omega$ constante. Hemos usado el hecho de que los ejes $OZ_{0}$ y $O_{1}Z_{1}$, coinciden en todo instante, por lo que se cumple ${\vec {k}}_{0}={\vec {k}}_{1}$. Los vectores de la base móvil son ${\vec {\imath }}_{0}$, ${\vec {\jmath }}_{0}$ y ${\vec {k}}_{0}$, indicados en la figura. Estos vectores son solidarios con el triedro "0". Por tanto, al girar éste se mueven respecto al triedro "1". La derivada temporal respecto del sistema "1" se calcula usando las fórmulas de Poisson. Para un vector ${\vec {a}}$ solidario con el sólido "i", que rota respecto a un sólido "j" con velocidad angular ${\vec {\omega }}_{ij}$, su derivada respecto al tiempo es

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {a}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{j}={\vec {\omega }}_{ij}\times {\vec {a}}$

Aplicamos esta fórmula a los vectores de la base del triedro "0"

$\left.{\begin{array}{l}\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\imath }}_{0}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\imath }}_{0}=(\omega \,{\vec {k}}_{0})\times {\vec {\imath }}_{0}=\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}\\\\\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\jmath }}_{0}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {\jmath }}_{0}=(\omega \,{\vec {k}}_{0})\times {\vec {\jmath }}_{0}=-\omega \,{\vec {\imath }}_{0}\\\\\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {k}}_{0}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}={\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {k}}_{0}=(\omega \,{\vec {k}}_{0})\times {\vec {k}}_{0}={\vec {0}}\end{array}}\right.$

La derivada indica en que dirección y sentido gira la punta de cada uno de los vectores.

Derivada del vector ${\vec {A}}$

Calculamos primero la derivada del vector ${\vec {A}}(t)$ vista desde el triedro móvil. En este triedro los vectores de la base son constantes, pues se mueven solidariamente con él. Tenemos

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} (a\,{\vec {\imath }}_{0})}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\dfrac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}\,{\vec {\imath }}_{0}+a\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\imath }}_{0}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\vec {0}}$

La derivada total es cero pues $a$ es una constante y el vector ${\vec {\imath }}_{0}$ no cambia visto desde el sólido "0". El resultado es razonable, pues el vector ${\vec {A}}$ gira con el triedro "0" y por tanto la derivada respecto de él es nula.

Calculamos ahora la derivada respecto al triedro "1". Ahora hay que tener en cuenta la rotación del triedro "0" respecto al "1". Usando la fórmula general de Poisson tenemos

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {A}}={\vec {0}}+(\omega \,{\vec {k}}_{0})\times (a\,{\vec {\imath }}_{0})=a\,\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$

Hemos obtenido la derivada expresada en la base del triedro "0". Para expresarla en la base fija hemos de encontrar las expresiones de los vectores de la base "0" en la base "1". Si nos fijamos en la figura del enunciado, vemos que se cumple

$\left.{\begin{array}{l}{\vec {\imath }}_{0}=\cos \theta (t)\,{\vec {\imath }}_{1}+\,\mathrm {sen} \,\theta (t)\,{\vec {\jmath }}_{1}\\\\{\vec {\jmath }}_{0}=-\,\mathrm {sen} \,\theta (t)\,{\vec {\imath }}_{1}+\cos \theta (t)\,{\vec {\jmath }}_{1}\\\\{\vec {k}}_{0}={\vec {k}}_{1}\end{array}}\right.$

Como el enunciado nos dice que la rotación tiene velocidad angular uniforme, se cumple $\theta (t)=\omega \,t$. Con esto, la derivada del vector ${\vec {A}}(t)$ expresada en la base del triedro fijo es

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-a\,\omega \,\,\mathrm {sen} \,(\omega \,t)\,{\vec {\imath }}_{1}+a\,\omega \,\cos(\omega \,t){\vec {\jmath }}_{1}$

Podíamos haber calculado esta derivada de otro modo expresando desde el principio el vector ${\vec {A}}(t)$ en la base fija. Usando la relación entre los vectores de la base del triedro "0" y el triedro "1" tenemos

${\vec {A}}(t)=a\,\cos(\omega \,t)\,{\vec {\imath }}_{1}+a\,\,\mathrm {sen} \,(\omega \,t)\,{\vec {\jmath }}_{1}$

Al hacer la derivada desde el triedro "1", ahora los vectores ${\vec {\imath }}_{1}$ y ${\vec {\jmath }}_{1}$ son constantes. Entonces

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {A}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=-a\,\omega \,\mathrm {sen} \,(\omega \,t)\,{\vec {\imath }}_{1}+a\,\omega \,\cos(\omega \,t)\,{\vec {\jmath }}_{1}=a\,\omega \,{\vec {\jmath }}_{0}$

Como es lógico, obtenemos el mismo resultado que antes.

Derivada del vector ${\vec {B}}$

La resolución de este apartado es similar a la anterior. La única diferencia es que ahora la componente del vector también depende del tiempo, por lo que su derivada no es nula. Visto desde el triedro "0" tenemos

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {B}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}={\dfrac {\mathrm {d} (b\,t)}{\mathrm {d} t}}\,{\vec {\imath }}_{0}+(b\,t)\,\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {\imath }}_{0}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}=b\,{\vec {\imath }}_{0}$

Para el sólido "0", el vector ${\vec {B}}$ sólo cambia por la variación de su longitud.

Visto desde el triedro "1" la derivada es

$\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {B}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{1}=\left.{\dfrac {\mathrm {d} {\vec {B}}}{\mathrm {d} t}}\right|_{0}+{\vec {\omega }}_{01}\times {\vec {B}}=b\,{\vec {\imath }}_{0}+(\omega \,{\vec {k}}_{0})\times (bt\,{\vec {\imath }}_{0})=b\,{\vec {\imath }}_{0}+b\omega t\,{\vec {\jmath }}_{0}$

Ahora hay dos términos de variación, uno asociado al cambio en la longitud del vector (el primer sumando) y otro asociado a la rotación del triedro "0" (el segundo sumando)