Partícula en movimiento rectilíneo con datos dependientes del tiempo

Enunciado

Una partícula se desplaza sobre el eje $OX$ de modo que en el instante inicial $t=0$ se encuentra en la posición $x(0)=x_{0}$. Calcula la posición y velocidad de la partícula en todo instante de tiempo para los siguientes casos:

1. Su velocidad es constante e igual a $v_{0}$.
2. Su aceleración es constante, $a(t)=a_{0}$, y su velocidad inicial es $v(0)=v_{0}$.
3. Su aceleración es $a(t)=At^{2}$, siendo $A$ una constante, y su velocidad inicial es $v(0)=v_{0}$.

Solución

Velocidad constante

Tenemos $v(t)=v_{0}$. A partir de la definición de velocidad en el movimiento rectilíneo

$v(t)=v_{0}={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x=v_{0}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int v_{0}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow x(t)=v_{0}t+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

$x(0)=x_{0}\Longrightarrow C=x_{0}$

Por tanto

$x(t)=x_{0}+v_{0}t.$

Aceleración constante

Tenemos $a(t)=a_{0}$. A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo

$a(t)=a_{0}={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} v=a_{0}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} v=\int a_{0}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow v(t)=a_{0}t+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la velocidad

$v(0)=v_{0}\Longrightarrow C=v_{0}$

Por tanto

$v(t)=v_{0}+a_{0}t.$

Una vez que tenemos $v(t)$ podemos obtener $x(t)$ de manera similar al apartado anterior

$v(t)={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x=v(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int v(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int (v_{0}+a_{0}t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow x(t)=v_{0}t+{\dfrac {1}{2}}a_{0}t^{2}+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

$x(0)=x_{0}\Longrightarrow C=x_{0}$

Por tanto

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\dfrac {1}{2}}a_{0}t^{2}$

Aceleración dependiente de la velocidad

El proceso es similar, pero ahora la aceleración depende del tiempo: $a(t)=At^{2}$. A partir de la definición de aceleración en el movimiento rectilíneo

$a(t)={\dfrac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} v=a(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} v=\int a(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} v=\int At^{2}\,\mathrm {d} t\Longrightarrow v(t)={\dfrac {1}{3}}At^{3}+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la velocidad

$v(0)=v_{0}\Longrightarrow C=v_{0}$

Por tanto

$v(t)=v_{0}+{\dfrac {1}{3}}At^{3}.$

Una vez que tenemos $v(t)$ podemos obtener $x(t)$

$v(t)={\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\Longrightarrow \mathrm {d} x=v(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int v(t)\,\mathrm {d} t\Longrightarrow \int \mathrm {d} x=\int (v_{0}+{\dfrac {1}{3}}At^{3})\,\mathrm {d} t\Longrightarrow x(t)=v_{0}t+{\dfrac {1}{12}}At^{4}+C.$

La constante de integración $C$ se determina usando la condición inicial para la posición

$x(0)=x_{0}\Longrightarrow C=x_{0}$

Por tanto

$x(t)=x_{0}+v_{0}t+{\dfrac {1}{12}}At^{4}$

Podemos verificar que la expresión es correcta desde el punto de vista dimensional. Todos los términos de la derecha deben tener como unidad base en el SI $[x]=m$. Los dos primeros son evidentes. Para el tercero necesitamos las unidades de $A$, que se obtienen a partir de la expresión de $a(t)$ del enunciado

$a=At^{2}\Longrightarrow [A]={\dfrac {[a]}{[t^{2}]}}={\dfrac {\mathrm {m/s^{2}} }{\mathrm {s^{2}} }}={\dfrac {\mathrm {m} }{\mathrm {s^{4}} }}.$

Entonces

$\left[{\dfrac {At^{4}}{12}}\right]={\dfrac {\mathrm {ms^{4}} }{\mathrm {s^{4}} }}=\mathrm {m} .$

Esto nos garantiza que la expresión que hemos obtenido no está catastróficamente mal.