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Enunciado

Dados los vectores

Construya una base ortonormal dextrógira , tal que

  1. El primer vector, , vaya en la dirección y sentido de
  2. El segundo, , esté contenido en el plano definido por y y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de ) que el vector .
  3. El tercero, , sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
  4. Supongamos un vector que en la base canónica se escribe
¿Cuál es su expresión en la base

Primer vector

Obtenemos el primer vector normalizando el vector , esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo

Hallamos el módulo de

por lo que

Segundo vector

El segundo vector debe estar en el plano definido por y , por lo que debe ser una combinación lineal de ambos

además debe ser ortogonal a (y por tanto, a )

y debe ser unitario

El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de perpendicular a y posteriormente normalizar el resultado.

La proyección normal la calculamos con ayuda del doble producto vectorial

Calculamos el primer producto vectorial

Hallamos el segundo

Dividiendo por el módulo de al cuadrado obtenemos la componente normal

Alternativamente, podemos hallar esta proyección ortogonal restando al vector completo la parte paralela

Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base

Tercer vector

El tercer vector lo obtenemos como el producto vectorial de los dos primeros

Por tanto, la base ortonormal dextrógira está formada por los vectores

Forma alternativa

Podemos acortar un poco el proceso invirtiendo el orden de cálculo.

El tercer vector de la base es ortogonal a los dos primeros. También es ortogonal a cualquier combinación lineal de los dos primeros, en particular a los dos vectores del enunciado y . Por ello, podemos calcular el tercer vector como

El producto vectorial vale

con módulo

resultando el unitario

El segundo vector lo obtenemos del producto vectorial del primero y el tercero, teniendo en cuenta el cambio de signo debido a la inversión del orden

Componentes de un vector dado

Para hallar las componentes de un vector en esta base debemos proyectar sobre cada uno de los vectores que la componen.

  • Para el vector
  • Para el vector
  • Para el vector

Por tanto, el vector se escribe en esta base